Номер 170, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. В усеченный конус вписана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Радиус большего основания усеченного конуса равен 6 см, высота — 6 см, а образующая — $2\sqrt{10}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиус большего основания усечённого конуса равен 6 см, высота — 6 см, а образующая — $2\sqrt{10}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды. Найдем все необходимые величины.

1. Найдем параметры большего основания пирамиды.

В основании правильной усеченной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Поскольку пирамида вписана в конус, то ее основания (квадраты) вписаны в основания конуса (окружности). Радиус большего основания конуса $R = 6$ см. Этот радиус является радиусом окружности, описанной около квадрата — большего основания пирамиды. Диагональ квадрата ($d_1$) равна диаметру описанной окружности: $d_1 = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см. Сторона квадрата $a_1$ связана с его диагональю соотношением $d_1 = a_1\sqrt{2}$. Отсюда находим сторону большего основания: $a_1 = \frac{d_1}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ см. Периметр большего основания $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см.
Ответ: Сторона большего основания $a_1 = 6\sqrt{2}$ см, периметр $P_1 = 24\sqrt{2}$ см.

2. Найдем параметры меньшего основания пирамиды.

Сначала найдем радиус меньшего основания усеченного конуса ($r$). Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $2R$ и $2r$, высотой $H$ и боковой стороной, равной образующей $L$. Из вершины меньшего основания опустим высоту на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $L=2\sqrt{10}$ см, одним катетом $H=6$ см и вторым катетом $R-r$. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + (R-r)^2$. Подставим известные значения: $(2\sqrt{10})^2 = 6^2 + (6-r)^2$. $40 = 36 + (6-r)^2$. $(6-r)^2 = 4$. Так как $R>r$, то $6-r=2$, откуда $r=4$ см. Теперь, аналогично пункту 1, найдем сторону меньшего основания пирамиды $a_2$. Диагональ меньшего квадрата $d_2 = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см. $a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см. Периметр меньшего основания $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.
Ответ: Сторона меньшего основания $a_2 = 4\sqrt{2}$ см, периметр $P_2 = 16\sqrt{2}$ см.

3. Найдем апофему усеченной пирамиды.

Апофема усеченной пирамиды ($h_a$) является высотой ее боковой грани (трапеции). Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой усеченной пирамиды $H$, апофемами оснований (которые равны половине сторон квадратов) и апофемой $h_a$. Катетами прямоугольного треугольника в этой конструкции будут высота пирамиды $H=6$ см и разность полусторон оснований $\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2}$. По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$. $h_a^2 = 6^2 + \left(\frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 36 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 36 + (\sqrt{2})^2 = 36 + 2 = 38$. $h_a = \sqrt{38}$ см.
Ответ: Апофема $h_a = \sqrt{38}$ см.

4. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности, используя найденные значения $P_1$, $P_2$ и $h_a$. $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(24\sqrt{2} + 16\sqrt{2}) \cdot \sqrt{38} = \frac{1}{2}(40\sqrt{2}) \cdot \sqrt{38} = 20\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = 20\sqrt{76}$. Упростим корень: $\sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$. $S_{бок} = 20 \cdot 2\sqrt{19} = 40\sqrt{19}$ см².
Ответ: $40\sqrt{19}$ см².