Номер 177, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Точки C $(x; 0; -2)$ и D $(0; y; 2)$ принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 20$. Найдите хорду CD.

177. Точки C $(x; 0; -2)$ и D $(0; y; 2)$ принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 20$. Найдите хорду CD.

Нахождение координат точки C

Поскольку точка $C(x; 0; -2)$ принадлежит сфере, ее координаты должны удовлетворять уравнению сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 20$. Подставим известные координаты точки C в это уравнение:

$x^2 + 0^2 + (-2)^2 = 20$

$x^2 + 0 + 4 = 20$

$x^2 = 20 - 4$

$x^2 = 16$

Отсюда $x = \sqrt{16}$, что дает два возможных значения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Таким образом, координаты точки C могут быть $(4; 0; -2)$ или $(-4; 0; -2)$.

Ответ: $x = \pm 4$.

Нахождение координат точки D

Аналогично, точка $D(0; y; 2)$ также принадлежит сфере, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты точки D в уравнение:

$0^2 + y^2 + 2^2 = 20$

$0 + y^2 + 4 = 20$

$y^2 = 20 - 4$

$y^2 = 16$

Отсюда $y = \sqrt{16}$, что дает два возможных значения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, координаты точки D могут быть $(0; 4; 2)$ или $(0; -4; 2)$.

Ответ: $y = \pm 4$.

Нахождение длины хорды CD

Длина хорды CD — это расстояние между точками C и D. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Для расчета мы можем выбрать любую из возможных комбинаций координат. Например, возьмем $C(4; 0; -2)$ и $D(0; 4; 2)$. Выбор других знаков для координат $x$ и $y$ не изменит результат, так как в формуле используются квадраты разностей.

Подставим координаты в формулу:

$CD = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - (-2))^2}$

$CD = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (2 + 2)^2}$

$CD = \sqrt{16 + 16 + 4^2}$

$CD = \sqrt{16 + 16 + 16}$

$CD = \sqrt{3 \cdot 16}$

$CD = \sqrt{48}$

Упростим корень: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.