Номер 183, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{2}{3}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

183. Площадь большого круга шара равна $S$, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{2}{3}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус сечения, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Площадь большого круга шара, радиус которого равен радиусу шара $R$, задана как $S$. Таким образом, мы можем записать: $S = \pi R^2$.

Площадь сечения шара плоскостью, которое также является кругом, но с радиусом $r$, по условию равна $S_{сеч} = \frac{2}{3}S$. Формула для площади этого сечения: $S_{сеч} = \pi r^2$.

Используя данные условия, установим связь между радиусами $R$ и $r$. Приравняем выражение для площади сечения к его значению через $S$:
$\pi r^2 = \frac{2}{3}S$
Теперь подставим в это равенство $S = \pi R^2$:
$\pi r^2 = \frac{2}{3}(\pi R^2)$
Сокращая $\pi$ в обеих частях уравнения, получаем соотношение между квадратами радиусов:
$r^2 = \frac{2}{3}R^2$

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а радиус сечения $r$ и расстояние $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:
$d^2 + r^2 = R^2$

Выразим из этой формулы $d^2$ и подставим в него найденное ранее выражение для $r^2$:
$d^2 = R^2 - r^2 = R^2 - \frac{2}{3}R^2 = (1 - \frac{2}{3})R^2 = \frac{1}{3}R^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим $d$:
$d = \sqrt{\frac{R^2}{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}}$

Чтобы получить ответ, выраженный через заданную площадь $S$, необходимо выразить $R$ через $S$. Из формулы $S = \pi R^2$ получаем:
$R^2 = \frac{S}{\pi} \implies R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
Наконец, подставим это выражение для $R$ в формулу для $d$:
$d = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{S}{3\pi}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S}{3\pi}}$