Номер 190, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точ-ку $E (26; -5; -9)$.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $E (26; -5; -9)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Условие касания сферы каждой из координатных плоскостей ($x=0$, $y=0$, $z=0$) означает, что расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$. Расстояние от центра $(x_0, y_0, z_0)$ до координатных плоскостей равно модулям его координат. Таким образом, выполняется равенство:

$|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$

Сфера проходит через точку $E(26; -5; -9)$. Координаты этой точки определяют октант ($x>0$, $y<0$, $z<0$), в котором находится часть сферы. Поскольку сфера касается всех координатных плоскостей, её центр должен находиться в том же октанте, что и точка $E$. Следовательно, знаки координат центра будут такими же:

$x_0 > 0$, $y_0 < 0$, $z_0 < 0$.

С учетом этого, координаты центра можно выразить через радиус $R$:

$x_0 = R$, $y_0 = -R$, $z_0 = -R$.

Таким образом, центр сферы — это точка $C(R, -R, -R)$, и её уравнение принимает вид:

$(x - R)^2 + (y + R)^2 + (z + R)^2 = R^2$

Чтобы найти значение $R$, подставим в это уравнение координаты точки $E(26; -5; -9)$, через которую проходит сфера:

$(26 - R)^2 + (-5 + R)^2 + (-9 + R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(26^2 - 2 \cdot 26 \cdot R + R^2) + ((-5)^2 + 2 \cdot (-5) \cdot R + R^2) + ((-9)^2 + 2 \cdot (-9) \cdot R + R^2) = R^2$

$(676 - 52R + R^2) + (25 - 10R + R^2) + (81 - 18R + R^2) = R^2$

$3R^2 - (52 + 10 + 18)R + (676 + 25 + 81) = R^2$

$3R^2 - 80R + 782 = R^2$

$2R^2 - 80R + 782 = 0$

Разделив все уравнение на 2, получим упрощенное квадратное уравнение:

$R^2 - 40R + 391 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 391 = 1600 - 1564 = 36$

Корни уравнения равны:

$R_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + \sqrt{36}}{2} = \frac{40 + 6}{2} = 23$

$R_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - \sqrt{36}}{2} = \frac{40 - 6}{2} = 17$

Получили два возможных значения радиуса, следовательно, существуют две сферы, удовлетворяющие заданным условиям.

1. Для $R_1 = 17$ центр сферы находится в точке $C_1(17, -17, -17)$. Уравнение первой сферы:

$(x - 17)^2 + (y + 17)^2 + (z + 17)^2 = 17^2$

$(x - 17)^2 + (y + 17)^2 + (z + 17)^2 = 289$

2. Для $R_2 = 23$ центр сферы находится в точке $C_2(23, -23, -23)$. Уравнение второй сферы:

$(x - 23)^2 + (y + 23)^2 + (z + 23)^2 = 23^2$

$(x - 23)^2 + (y + 23)^2 + (z + 23)^2 = 529$

Ответ: $(x - 17)^2 + (y + 17)^2 + (z + 17)^2 = 289$ и $(x - 23)^2 + (y + 23)^2 + (z + 23)^2 = 529$.