Номер 194, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, основания которой равны 16 см и 36 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 13 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, основания которой равны 16 см и 36 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 13 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой основания $AD = a = 36$ см и $BC = b = 16$ см. Шар с центром в точке $O$ и радиусом $R = 13$ см касается всех сторон этой трапеции.

Поскольку шар касается всех сторон трапеции, это означает, что в данную трапецию можно вписать окружность. Центр этой вписанной окружности (обозначим его $O'$) является ортогональной проекцией центра шара $O$ на плоскость трапеции. Расстояние от центра шара до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра $OO'$, который мы обозначим как $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O$, центром вписанной окружности $O'$ и точкой касания $T$ шара с любой из сторон трапеции. В этом треугольнике $\triangle OO'T$:

• $OT$ — гипотенуза, равная радиусу шара $R = 13$ см.
• $O'T$ — катет, равный радиусу вписанной в трапецию окружности $r$.
• $OO'$ — катет, равный искомому расстоянию $h$.

По теореме Пифагора для этого треугольника справедливо соотношение: $R^2 = h^2 + r^2$.

Для нахождения $h$ нам необходимо сначала определить радиус вписанной окружности $r$.

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает: $a + b = c + c = 2c$.

Подставим известные значения оснований:$36 + 16 = 2c$$52 = 2c$$c = 26$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $H$. В равнобокой трапеции высота, боковая сторона и половина разности оснований образуют прямоугольный треугольник. Проведем высоту из вершины $B$ к основанию $AD$ в точку $K$. Длина отрезка $AK$ будет равна:$AK = \frac{a - b}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$ гипотенузой является боковая сторона $AB = c = 26$ см, а катетом — отрезок $AK = 10$ см. Найдем второй катет $BK$, который является высотой трапеции $H$, по теореме Пифагора:$H^2 = c^2 - AK^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$H = \sqrt{576} = 24$ см.

Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты:$r = \frac{H}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$ из формулы $R^2 = h^2 + r^2$:$h^2 = R^2 - r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.