Номер 198, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$ и образует с одной из диагоналей основания угол $\alpha$, а диагональ параллелепипеда образует с его боковым ребром угол $\beta$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около параллелепипеда.

198. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$ и образует с одной из диагоналей основания угол $\alpha$, а диагональ параллелепипеда образует с его боковым ребром угол $\beta$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед. Обозначим его измерения: $a$ и $b$ — стороны основания, $c$ — боковое ребро (высота). Диагональ основания обозначим как $d$, а диагональ параллелепипеда — $D$.

По условию, одна из сторон основания равна $a$. Эта сторона образует с диагональю основания $d$ угол $\alpha$. Так как основание параллелепипеда — прямоугольник, то его диагональ $d$ и стороны $a$ и $b$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $a$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а диагональ $d$ — гипотенузой. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$

Отсюда можно выразить диагональ основания $d$:

$d = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Далее, рассмотрим диагональ параллелепипеда $D$. Она образует прямоугольный треугольник с боковым ребром $c$ и диагональю основания $d$. В этом треугольнике $D$ является гипотенузой, а $c$ и $d$ — катетами. По условию, диагональ параллелепипеда $D$ образует с его боковым ребром $c$ угол $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет $d$ является противолежащим к углу $\beta$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\sin(\beta) = \frac{d}{D}$

Отсюда выразим диагональ параллелепипеда $D$:

$D = \frac{d}{\sin(\beta)}$

Подставим ранее найденное выражение для $d$ в эту формулу:

$D = \frac{a/\cos(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)}$

Требуется найти площадь $S$ большого круга шара, описанного около параллелепипеда. Диаметр такого шара равен диагонали параллелепипеда $D$. Соответственно, радиус шара $R = \frac{D}{2}$.

Площадь большого круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим в нее выражение для радиуса:

$S = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

Теперь подставим найденное выражение для $D$:

$S = \frac{\pi}{4} \left( \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)}$

Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)}$