Номер 199, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ между равными сторонами. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ между равными сторонами. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть $R$ — радиус сферы, описанной около прямой призмы. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин призмы. Для прямой призмы центр сферы $O$ находится на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• центром сферы $O$;
• центром $O_1$ окружности, описанной около одного из оснований;
• любой вершиной $A$ этого основания.

В этом треугольнике гипотенузой является радиус сферы $R$ (отрезок $OA$), а катетами — радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы (отрезок $O_1A$), и половина высоты призмы $H/2$ (отрезок $OO_1$).

По теореме Пифагора:$R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

Теперь найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания. Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом $\alpha$ между ними. Пусть третья сторона треугольника равна $c$.

По теореме косинусов найдем сторону $c$, лежащую против угла $\alpha$:$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$

Используем формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:$c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 4a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$c = 2a\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Для нахождения радиуса описанной окружности $r$ воспользуемся следствием из теоремы синусов:$r = \frac{c}{2\sin\alpha}$

Подставим найденное значение $c$ и воспользуемся формулой двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:$r = \frac{2a\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} = \frac{a}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь подставим значение $r^2$ в формулу для радиуса сферы $R$:$R^2 = \left(\frac{a}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} + \frac{H^2}{4}$

Извлекая квадратный корень, получим окончательное выражение для радиуса сферы:$R = \sqrt{\frac{a^2}{4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} + \frac{H^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} + H^2}$

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2(\alpha/2)} + H^2}$