Номер 192, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Шар касается всех сторон ромба, а расстояние от центра шара до плоскости ромба равно 16 см. Найдите радиус шара.

192. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Шар касается всех сторон ромба, а расстояние от центра шара до плоскости ромба равно 16 см. Найдите радиус шара.

Пусть $d_1 = 30$ см и $d_2 = 40$ см — диагонали ромба. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости ромба равно $h = 16$ см. Требуется найти радиус шара $R$.

Поскольку шар касается всех сторон ромба, его центр $O$ равноудален от всех сторон. Проекция центра шара на плоскость ромба, точка $O'$, будет равноудалена от сторон ромба, а значит, является центром вписанной в ромб окружности. Центр вписанной окружности ромба совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Сначала найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, образуя четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников — это половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см. Сторона ромба $a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Этот радиус равен расстоянию от центра ромба до его стороны. Площадь ромба $S$ можно вычислить через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см². Также площадь ромба можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h_{ромба}$, которая равна диаметру вписанной окружности ($h_{ромба} = 2r$), то есть $S = a \cdot 2r$. Приравняем два выражения для площади:$a \cdot 2r = 600$$25 \cdot 2r = 600$$50r = 600$$r = \frac{600}{50} = 12$ см.

Радиус шара $R$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние от центра шара до плоскости ромба $h$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$. Гипотенузой этого треугольника будет радиус шара $R$, так как это расстояние от центра шара до точки касания на стороне ромба.По теореме Пифагора:$R^2 = h^2 + r^2$$R = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.