Номер 193, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите радиус шара.

193. Стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите радиус шара.

Пусть $O$ - центр шара, $R$ - его радиус, а $\alpha$ - плоскость данного треугольника. Пусть $I$ - проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно $h = OI = 2\sqrt{3}$ см.

Так как шар касается всех сторон треугольника, то его центр $O$ равноудален от этих сторон. Расстояние от центра шара до любой из сторон треугольника равно радиусу шара $R$.

Точка $I$, являясь проекцией центра шара на плоскость треугольника, будет равноудалена от всех сторон этого треугольника. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности. Обозначим радиус этой вписанной окружности как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), проведенным к точке касания на одной из сторон, расстоянием от центра шара до плоскости $h$ (катет) и радиусом вписанной окружности $r$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем соотношение: $R^2 = h^2 + r^2$.

Чтобы найти радиус шара $R$, нам нужно сначала вычислить радиус вписанной в треугольник окружности $r$. Стороны треугольника равны $a = 7$ см, $b = 15$ см, $c = 20$ см.

Найдем радиус вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$
$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{42}{21} = 2$ см.

Теперь, зная $h = 2\sqrt{3}$ см и $r = 2$ см, мы можем найти радиус шара $R$ из формулы $R^2 = h^2 + r^2$:
$R^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2$
$R^2 = 4 \cdot 3 + 4$
$R^2 = 12 + 4$
$R^2 = 16$
$R = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.