Номер 200, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 9 см, а её диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 9 см, а её диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основание пирамиды $ABCD$ — квадрат, а высота $SO$ опускается в центр основания $O$, который является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Согласно условию задачи, высота пирамиды $H = SO = 9$ см.

Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой треугольник, образованный двумя боковыми рёбрами и диагональю основания, например, треугольник $SAC$. По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Следовательно, все его стороны равны: $SA = SC = AC$.

Высота пирамиды $SO$ является также высотой равностороннего треугольника $SAC$, проведённой к стороне $AC$. Высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a_{tr}$ связана с ней соотношением:

$H = \frac{a_{tr} \sqrt{3}}{2}$

В нашем случае $H = 9$ см, а $a_{tr} = AC$. Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны треугольника $SAC$:

$9 = \frac{AC \cdot \sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим длину диагонали основания $AC$:

$AC = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как треугольник $SAC$ равносторонний, то его стороны $SA = SC = AC = 6\sqrt{3}$ см.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, всегда лежит на её высоте. Для правильной четырёхугольной пирамиды центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около её диагонального сечения (в данном случае, треугольника $SAC$). Таким образом, радиус $R$ описанного шара равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника $SAC$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a_{tr}$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a_{tr}}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение стороны $a_{tr} = AC = 6\sqrt{3}$ см в эту формулу:

$R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Ответ: 6 см.