Номер 201, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Сторона основания и высота правильной четырёхугольной пирамиды равны 4 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

201. Сторона основания и высота правильной четырёх-угольной пирамиды равны 4 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина пирамиды. По условию, сторона основания $a = 4$ см, а высота пирамиды $H = SO = 4$ см, где $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Центр шара, описанного около пирамиды, лежит на её высоте $SO$, так как эта прямая является осью симметрии пирамиды. Обозначим центр шара буквой $K$. Этот центр равноудалён от всех вершин пирамиды на расстояние, равное радиусу шара $R$. Следовательно, $KS = KA = KB = KC = KD = R$.

Для нахождения радиуса рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Центр $K$ описанной сферы будет являться центром окружности, описанной около треугольника $SAC$.

Сначала найдём длину диагонали основания $AC$. Так как основание – квадрат со стороной $a=4$ см, по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ имеем:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как $O$ – центр квадрата, то $O$ является серединой диагонали $AC$. Длина отрезка $AO$ равна половине длины диагонали:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Пусть центр шара $K$ находится на высоте $SO$ на расстоянии $x$ от плоскости основания, то есть $KO = x$. Тогда расстояние от центра шара до вершины $S$ равно $KS = SO - KO = H - x = 4 - x$. Поскольку $KS$ является радиусом шара, получаем: $R = 4 - x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KOA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $KA$ равен сумме квадратов катетов $KO$ и $AO$:

$KA^2 = KO^2 + AO^2$

Поскольку $KA = R$, $KO = x$ и $AO = 2\sqrt{2}$ см, подставляем эти значения в уравнение:

$R^2 = x^2 + (2\sqrt{2})^2 = x^2 + 8$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $R$ и $x$:

$\begin{cases} R = 4 - x \\ R^2 = x^2 + 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе:

$(4 - x)^2 = x^2 + 8$

$16 - 8x + x^2 = x^2 + 8$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$16 - 8x = 8$

$8x = 16 - 8$

$8x = 8$

$x = 1$ см.

Теперь, зная $x$, найдём радиус $R$ из первого уравнения:

$R = 4 - x = 4 - 1 = 3$ см.

Ответ: 3 см.