Номер 197, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Радиус шара, описанного около правильной треугольной призмы, равен 13 см, а сторона основания призмы — $5\sqrt{3}$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

197. Радиус шара, описанного около правильной треугольной призмы, равен 13 см, а сторона основания призмы – $5\sqrt{3}$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Обозначим радиус описанного шара как $R$, сторону основания правильной треугольной призмы как $a$, и высоту призмы как $H$. По условию задачи, $R = 13$ см и $a = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Основание призмы — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 5\sqrt{3}$ см. Периметр основания равен: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ см.

Для нахождения высоты призмы $H$ воспользуемся свойством описанного шара. Центр шара, описанного около правильной призмы, лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований призмы. Радиус шара $R$, половина высоты призмы $\frac{H}{2}$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы, образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$.

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим значение $a = 5\sqrt{3}$ см: $r = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ см.

Теперь, используя формулу $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$, найдем высоту $H$. Подставим известные значения $R = 13$ см и $r = 5$ см: $13^2 = 5^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ $169 = 25 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ $\left(\frac{H}{2}\right)^2 = 169 - 25$ $\left(\frac{H}{2}\right)^2 = 144$ $\frac{H}{2} = \sqrt{144}$ $\frac{H}{2} = 12$ см $H = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 15\sqrt{3} \cdot 24 = 360\sqrt{3}$ см².

Ответ: $360\sqrt{3}$ см².