Страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 12 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 12 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (его длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, имеем: $a = 4$ см, $b = 6$ см и $c = 12$ см.

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с центром симметрии параллелепипеда, то есть с точкой пересечения его диагоналей. Диаметр описанной сферы равен длине главной диагонали $d$ этого параллелепипеда.

Квадрат длины главной диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Эту формулу можно получить, дважды применив теорему Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в формулу известные значения $a$, $b$ и $c$: $d^2 = 4^2 + 6^2 + 12^2$ $d^2 = 16 + 36 + 144$ $d^2 = 52 + 144$ $d^2 = 196$

Теперь найдем длину диагонали $d$: $d = \sqrt{196} = 14$ см.

Так как диаметр сферы $D$ равен диагонали параллелепипеда $d$, то $D = 14$ см.

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

197. Радиус шара, описанного около правильной треугольной призмы, равен 13 см, а сторона основания призмы — $5\sqrt{3}$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

197. Радиус шара, описанного около правильной треугольной призмы, равен 13 см, а сторона основания призмы – $5\sqrt{3}$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Обозначим радиус описанного шара как $R$, сторону основания правильной треугольной призмы как $a$, и высоту призмы как $H$. По условию задачи, $R = 13$ см и $a = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Основание призмы — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 5\sqrt{3}$ см. Периметр основания равен: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ см.

Для нахождения высоты призмы $H$ воспользуемся свойством описанного шара. Центр шара, описанного около правильной призмы, лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований призмы. Радиус шара $R$, половина высоты призмы $\frac{H}{2}$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы, образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$.

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим значение $a = 5\sqrt{3}$ см: $r = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ см.

Теперь, используя формулу $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$, найдем высоту $H$. Подставим известные значения $R = 13$ см и $r = 5$ см: $13^2 = 5^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ $169 = 25 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ $\left(\frac{H}{2}\right)^2 = 169 - 25$ $\left(\frac{H}{2}\right)^2 = 144$ $\frac{H}{2} = \sqrt{144}$ $\frac{H}{2} = 12$ см $H = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 15\sqrt{3} \cdot 24 = 360\sqrt{3}$ см².

Ответ: $360\sqrt{3}$ см².

198. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$ и образует с одной из диагоналей основания угол $\alpha$, а диагональ параллелепипеда образует с его боковым ребром угол $\beta$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около параллелепипеда.

198. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$ и образует с одной из диагоналей основания угол $\alpha$, а диагональ параллелепипеда образует с его боковым ребром угол $\beta$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед. Обозначим его измерения: $a$ и $b$ — стороны основания, $c$ — боковое ребро (высота). Диагональ основания обозначим как $d$, а диагональ параллелепипеда — $D$.

По условию, одна из сторон основания равна $a$. Эта сторона образует с диагональю основания $d$ угол $\alpha$. Так как основание параллелепипеда — прямоугольник, то его диагональ $d$ и стороны $a$ и $b$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $a$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а диагональ $d$ — гипотенузой. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$

Отсюда можно выразить диагональ основания $d$:

$d = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Далее, рассмотрим диагональ параллелепипеда $D$. Она образует прямоугольный треугольник с боковым ребром $c$ и диагональю основания $d$. В этом треугольнике $D$ является гипотенузой, а $c$ и $d$ — катетами. По условию, диагональ параллелепипеда $D$ образует с его боковым ребром $c$ угол $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет $d$ является противолежащим к углу $\beta$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\sin(\beta) = \frac{d}{D}$

Отсюда выразим диагональ параллелепипеда $D$:

$D = \frac{d}{\sin(\beta)}$

Подставим ранее найденное выражение для $d$ в эту формулу:

$D = \frac{a/\cos(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)}$

Требуется найти площадь $S$ большого круга шара, описанного около параллелепипеда. Диаметр такого шара равен диагонали параллелепипеда $D$. Соответственно, радиус шара $R = \frac{D}{2}$.

Площадь большого круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим в нее выражение для радиуса:

$S = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

Теперь подставим найденное выражение для $D$:

$S = \frac{\pi}{4} \left( \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)}$

Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)}$

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ между равными сторонами. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ между равными сторонами. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть $R$ — радиус сферы, описанной около прямой призмы. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин призмы. Для прямой призмы центр сферы $O$ находится на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• центром сферы $O$;
• центром $O_1$ окружности, описанной около одного из оснований;
• любой вершиной $A$ этого основания.

В этом треугольнике гипотенузой является радиус сферы $R$ (отрезок $OA$), а катетами — радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы (отрезок $O_1A$), и половина высоты призмы $H/2$ (отрезок $OO_1$).

По теореме Пифагора:$R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

Теперь найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания. Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом $\alpha$ между ними. Пусть третья сторона треугольника равна $c$.

По теореме косинусов найдем сторону $c$, лежащую против угла $\alpha$:$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$

Используем формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:$c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 4a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$c = 2a\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Для нахождения радиуса описанной окружности $r$ воспользуемся следствием из теоремы синусов:$r = \frac{c}{2\sin\alpha}$

Подставим найденное значение $c$ и воспользуемся формулой двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:$r = \frac{2a\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} = \frac{a}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь подставим значение $r^2$ в формулу для радиуса сферы $R$:$R^2 = \left(\frac{a}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} + \frac{H^2}{4}$

Извлекая квадратный корень, получим окончательное выражение для радиуса сферы:$R = \sqrt{\frac{a^2}{4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} + \frac{H^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} + H^2}$

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2(\alpha/2)} + H^2}$

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 9 см, а её диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

200. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 9 см, а её диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основание пирамиды $ABCD$ — квадрат, а высота $SO$ опускается в центр основания $O$, который является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Согласно условию задачи, высота пирамиды $H = SO = 9$ см.

Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой треугольник, образованный двумя боковыми рёбрами и диагональю основания, например, треугольник $SAC$. По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Следовательно, все его стороны равны: $SA = SC = AC$.

Высота пирамиды $SO$ является также высотой равностороннего треугольника $SAC$, проведённой к стороне $AC$. Высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a_{tr}$ связана с ней соотношением:

$H = \frac{a_{tr} \sqrt{3}}{2}$

В нашем случае $H = 9$ см, а $a_{tr} = AC$. Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны треугольника $SAC$:

$9 = \frac{AC \cdot \sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим длину диагонали основания $AC$:

$AC = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как треугольник $SAC$ равносторонний, то его стороны $SA = SC = AC = 6\sqrt{3}$ см.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, всегда лежит на её высоте. Для правильной четырёхугольной пирамиды центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около её диагонального сечения (в данном случае, треугольника $SAC$). Таким образом, радиус $R$ описанного шара равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника $SAC$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a_{tr}$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a_{tr}}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение стороны $a_{tr} = AC = 6\sqrt{3}$ см в эту формулу:

$R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

201. Сторона основания и высота правильной четырёхугольной пирамиды равны 4 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

201. Сторона основания и высота правильной четырёх-угольной пирамиды равны 4 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина пирамиды. По условию, сторона основания $a = 4$ см, а высота пирамиды $H = SO = 4$ см, где $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Центр шара, описанного около пирамиды, лежит на её высоте $SO$, так как эта прямая является осью симметрии пирамиды. Обозначим центр шара буквой $K$. Этот центр равноудалён от всех вершин пирамиды на расстояние, равное радиусу шара $R$. Следовательно, $KS = KA = KB = KC = KD = R$.

Для нахождения радиуса рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Центр $K$ описанной сферы будет являться центром окружности, описанной около треугольника $SAC$.

Сначала найдём длину диагонали основания $AC$. Так как основание – квадрат со стороной $a=4$ см, по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ имеем:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как $O$ – центр квадрата, то $O$ является серединой диагонали $AC$. Длина отрезка $AO$ равна половине длины диагонали:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Пусть центр шара $K$ находится на высоте $SO$ на расстоянии $x$ от плоскости основания, то есть $KO = x$. Тогда расстояние от центра шара до вершины $S$ равно $KS = SO - KO = H - x = 4 - x$. Поскольку $KS$ является радиусом шара, получаем: $R = 4 - x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KOA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $KA$ равен сумме квадратов катетов $KO$ и $AO$:

$KA^2 = KO^2 + AO^2$

Поскольку $KA = R$, $KO = x$ и $AO = 2\sqrt{2}$ см, подставляем эти значения в уравнение:

$R^2 = x^2 + (2\sqrt{2})^2 = x^2 + 8$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $R$ и $x$:

$\begin{cases} R = 4 - x \\ R^2 = x^2 + 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе:

$(4 - x)^2 = x^2 + 8$

$16 - 8x + x^2 = x^2 + 8$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$16 - 8x = 8$

$8x = 16 - 8$

$8x = 8$

$x = 1$ см.

Теперь, зная $x$, найдём радиус $R$ из первого уравнения:

$R = 4 - x = 4 - 1 = 3$ см.

Ответ: 3 см.

202. Высота правильной пирамиды равна $h$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

202. Высота правильной пирамиды равна $h$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть $S$ - вершина правильной пирамиды, $O$ - центр ее основания, а $A$ - одна из вершин основания. Тогда $SO$ - высота пирамиды, и по условию $SO = h$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания - это угол между ребром $SA$ и его проекцией $OA$ на эту плоскость, то есть $\angle SAO = \gamma$. Треугольник $\triangle SOA$ является прямоугольным ($\angle SOA = 90^\circ$).

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим центр шара буквой $K$, а его радиус - $R$. Таким образом, точка $K$ лежит на прямой $SO$.

Для нахождения радиуса $R$ рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и две диаметрально противоположные вершины основания, $A$ и $A'$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $\triangle ASA'$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанного шара, и ее радиус равен $R$.

Найдем стороны треугольника $\triangle ASA'$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$:

1. Катет $OA$ является радиусом окружности, описанной около основания пирамиды.$OA = \frac{SO}{\tan(\angle SAO)} = \frac{h}{\tan \gamma} = h \cot \gamma$.Тогда основание осевого сечения $AA' = 2 \cdot OA = 2h \cot \gamma$.

2. Гипотенуза $SA$ является боковым ребром пирамиды.$SA = \frac{SO}{\sin(\angle SAO)} = \frac{h}{\sin \gamma}$.В равнобедренном треугольнике $\triangle ASA'$ боковые стороны равны $SA = SA' = \frac{h}{\sin \gamma}$.

Радиус $R$ описанной окружности для треугольника $\triangle ASA'$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S_{\triangle}$ - его площадь.

Площадь треугольника $\triangle ASA'$:$S_{\triangle ASA'} = \frac{1}{2} \cdot AA' \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot (2h \cot \gamma) \cdot h = h^2 \cot \gamma$.

Подставим найденные значения в формулу для радиуса:$R = \frac{SA \cdot SA' \cdot AA'}{4 \cdot S_{\triangle ASA'}} = \frac{\frac{h}{\sin \gamma} \cdot \frac{h}{\sin \gamma} \cdot 2h \cot \gamma}{4 \cdot h^2 \cot \gamma}$.

Упростим выражение:$R = \frac{\frac{2h^3 \cot \gamma}{\sin^2 \gamma}}{4h^2 \cot \gamma} = \frac{2h^3 \cot \gamma}{4h^2 \cot \gamma \sin^2 \gamma} = \frac{2h^3}{4h^2 \sin^2 \gamma} = \frac{h}{2\sin^2 \gamma}$.

Ответ: $R = \frac{h}{2\sin^2 \gamma}$.

203. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 4 см. Найдите сторону основания пирамиды.

203. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 4 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина. Пусть сторона основания равна $a$. Точка $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$), $SO$ — высота пирамиды $H$.

Боковое ребро, например $SA$, наклонено к плоскости основания под углом $\angle SAO$. По условию, этот угол равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Поскольку один из острых углов $\angle SAO = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, и, следовательно, его катеты равны: $SO = AO$.

Отрезок $AO$ является половиной диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.Следовательно, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Так как $H = SO = AO$, то высота пирамиды $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле:$R = \frac{b^2}{2H}$, где $b$ — длина бокового ребра.

Найдём длину бокового ребра $b = SA$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$ по теореме Пифагора:$b^2 = SA^2 = AO^2 + SO^2$$b^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$.Отсюда следует, что $b = a$.

Теперь подставим найденные значения $b=a$ и $H=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ в формулу для радиуса описанной сферы:$R = \frac{a^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

По условию задачи радиус сферы $R = 4$ см. Составим уравнение и найдём сторону основания $a$:$\frac{a}{\sqrt{2}} = 4$$a = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

204. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $135^\circ$, а противолежащая ему сторона — $8\sqrt{6}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

204. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $135^{\circ}$, а противолежащая ему сторона $-$ $8\sqrt{6}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть основанием пирамиды является треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 135^\circ$, а противолежащая ему сторона $a = BC = 8\sqrt{6}$ см. Пусть $S$ – вершина пирамиды.

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $60^\circ$, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Таким образом, $SO = H$ – высота пирамиды, а $OA = OB = OC = R_{base}$ – радиус описанной окружности основания.

1. Найдем радиус описанной окружности основания $R_{base}$ по теореме синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{a}{\sin A} = 2R_{base}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$R_{base} = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Угол между боковым ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания $OA$ равен $\angle SAO = 60^\circ$. Катет $OA = R_{base} = 8\sqrt{3}$ см, а катет $SO = H$. Из определения тангенса:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} \implies H = SO = OA \cdot \tan(60^\circ)$

$H = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см.

3. Центр шара $O_{sph}$, описанного около пирамиды, является точкой, равноудаленной от всех ее вершин. Эта точка лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восстановленном из центра описанной окружности, то есть на прямой, содержащей высоту $SO$.

Пусть $d$ – искомое расстояние от центра шара $O_{sph}$ до плоскости основания, то есть $d = |O_{sph}O|$. Пусть $R_{sph}$ – радиус описанного шара. Тогда $R_{sph} = O_{sph}S = O_{sph}A$.

Из прямоугольного треугольника $O_{sph}OA$ по теореме Пифагора имеем:

$R_{sph}^2 = (O_{sph}O)^2 + (OA)^2 = d^2 + R_{base}^2$

С другой стороны, расстояние от центра шара до вершины $S$ равно $R_{sph} = |SO - O_{sph}O| = |H - d|$.

Приравнивая выражения для квадрата радиуса, получаем уравнение:

$(H - d)^2 = d^2 + R_{base}^2$

$H^2 - 2Hd + d^2 = d^2 + R_{base}^2$

$H^2 - 2Hd = R_{base}^2$

$2Hd = H^2 - R_{base}^2$

$d = \frac{H^2 - R_{base}^2}{2H}$

4. Подставим найденные значения $H = 24$ см и $R_{base} = 8\sqrt{3}$ см:

$d = \frac{24^2 - (8\sqrt{3})^2}{2 \cdot 24} = \frac{576 - (64 \cdot 3)}{48} = \frac{576 - 192}{48} = \frac{384}{48} = 8$ см.

Ответ: 8 см.