Страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная пирамида. Боковое ребро пирамиды равно $b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, равен $30^{\circ}$.

Конус описан около данной пирамиды. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный многоугольник) вписано в основание конуса (круг).

Из этого следует, что образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды.

Таким образом, образующая конуса $L = b$.

Для нахождения радиуса основания конуса $R$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $b$ (гипотенуза) и радиусом описанной окружности основания $R$ (катет). Угол между боковым ребром $b$ и его проекцией на основание (радиусом $R$) по условию задачи равен $30^{\circ}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\cos(30^{\circ}) = \frac{R}{b}$
Отсюда находим радиус $R$:
$R = b \cdot \cos(30^{\circ}) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$.

Подставим значения $L=b$ и $R = b \frac{\sqrt{3}}{2}$ в формулу:
$S_{полн} = \pi \left(b \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(b \frac{\sqrt{3}}{2} + b\right)$.

Упростим выражение:
$S_{полн} = \pi \left(b \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot b\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \pi b^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}\right) = \pi b^2 \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)}{4} = \pi b^2 \frac{3 + 2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi b^2 (3 + 2\sqrt{3})}{4}$.

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC$, $AC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ABD = \beta$.

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC$, $AC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ABD = \beta$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.
Так как конус описан около пирамиды $DABC$, его основанием является окружность, описанная около треугольника $ABC$, а вершина совпадает с вершиной $D$. Таким образом, радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$, а образующая конуса $L$ равна длине боковых ребер пирамиды, которые в этом случае должны быть равны между собой: $L = DA = DB = DC$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $AC = a$ и $\angle ABC = \alpha$. Радиус $R$ описанной около треугольника окружности найдем по теореме синусов:
$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$.

2. Найдем образующую конуса $L$.
Образующая $L$ равна длине бокового ребра, например, $DB$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $DA = DB = L$ (как образующие конуса), треугольник $ABD$ является равнобедренным. По условию задачи $\angle ABD = \beta$, следовательно, угол при основании $\angle DAB$ также равен $\beta$.
Чтобы найти $L$, нам нужно знать длину стороны $AB$. Найдем ее из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha)$.
Так как $AB = BC$, то:
$a^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \cos(\alpha) = 2AB^2(1 - \cos(\alpha))$.
Применим тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:
$a^2 = 2AB^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4AB^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.
Отсюда выразим длину $AB$:
$AB = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
Теперь вернемся к равнобедренному треугольнику $ABD$. Угол при вершине $\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - 2\beta$. Применим к этому треугольнику теорему синусов:
$\frac{L}{\sin(\angle DAB)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$
$\frac{L}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(180^\circ - 2\beta)}$.
Используя то, что $\sin(180^\circ - 2\beta) = \sin(2\beta)$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta)$, получаем:
$\frac{L}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{2\sin(\beta)\cos(\beta)}$.
Отсюда $L = \frac{AB}{2\cos(\beta)}$.
Подставим найденное ранее выражение для $AB$:
$L = \frac{a / (2\sin(\frac{\alpha}{2}))}{2\cos(\beta)} = \frac{a}{4\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\beta)}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \frac{a}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{a}{4\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\beta)} = \frac{\pi a^2}{8 \sin(\alpha) \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)}$.
Для упрощения ответа воспользуемся формулой синуса двойного угла для $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:
$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{8 \cdot (2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(\beta)} = \frac{\pi a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)}$.

163. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а высота – 2 см. Найдите образующую конуса, вписанного в данную пирамиду.

163. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а высота – 2 см. Найдите образующую конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. В её основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см. Высота пирамиды $H = 2$ см.

Конус вписан в пирамиду, это означает, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (равносторонний треугольник).

Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды: $h = H = 2$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 12$ см:

$r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Образующая конуса $l$, его высота $h$ и радиус основания $r$ связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой:

$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим найденные значения высоты $h = 2$ см и радиуса $r = 2\sqrt{3}$ см:

$l^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

Отсюда находим длину образующей:

$l = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

164. Апофема правильной пирамиды равна m и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Апофема пирамиды (высота боковой грани), обозначим ее $SK$, по условию равна $m$. Угол, который апофема образует с плоскостью основания, — это угол между самой апофемой $SK$ и ее проекцией $OK$ на плоскость основания. Таким образом, $\angle SKO = 60^{\circ}$.

Конус, вписанный в данную пирамиду, имеет ту же вершину $S$ и ту же высоту $SO$, что и пирамида. Основание конуса представляет собой круг, вписанный в многоугольник, лежащий в основании пирамиды. Радиус основания конуса $r$ равен отрезку $OK$ (апофеме основания пирамиды). Образующая конуса $L$ совпадает с апофемой пирамиды $SK$.

Следовательно, для вписанного конуса мы имеем:

Образующая $L = SK = m$.
Радиус основания $r = OK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ (так как $SO$ — высота, $\angle SOK = 90^{\circ}$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $SK = m$ и прилежащий к катету $OK$ угол $\angle SKO = 60^{\circ}$. Найдем длину катета $OK$, который является радиусом основания конуса $r$:

$r = OK = SK \cdot \cos(\angle SKO) = m \cdot \cos(60^{\circ})$

Поскольку $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$r = m \cdot \frac{1}{2} = \frac{m}{2}$

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн} = \pi r^2$ — площадь основания, а $S_{бок} = \pi r L$ — площадь боковой поверхности.

$S_{полн} = \pi r^2 + \pi r L$

Подставим найденные значения $r = \frac{m}{2}$ и $L = m$ в формулу:

$S_{полн} = \pi \left(\frac{m}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{m}{2}\right) \cdot m = \frac{\pi m^2}{4} + \frac{\pi m^2}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2}{4} + \frac{2\pi m^2}{4} = \frac{\pi m^2 + 2\pi m^2}{4} = \frac{3\pi m^2}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi m^2}{4}$

165. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

165. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Осевое сечение вписанного конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса ($H$), которая совпадает с высотой пирамиды. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ находится по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.Для решения задачи необходимо найти радиус основания конуса $r$ и его высоту $H$.

1. Найдём радиус $r$ основания конуса.Основание конуса — это окружность, вписанная в основание пирамиды, то есть в правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен его апофеме. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна высоте равностороннего треугольника с такой же стороной.Следовательно,$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём высоту $H$ конуса.Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Сначала найдём апофему боковой грани пирамиды (обозначим её $h_a$). Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при вершине $\alpha$. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, половиной основания ($\frac{a}{2}$) и боковым ребром. Угол, противолежащий катету $\frac{a}{2}$, равен $\frac{\alpha}{2}$.Из определения котангенса:$\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h_a}{a/2}$, откуда $h_a = \frac{a}{2}\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Высота пирамиды $H$, апофема основания $r$ и апофема боковой грани $h_a$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $h_a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$H^2 + r^2 = h_a^2$$H^2 = h_a^2 - r^2$Подставим найденные ранее выражения для $r$ и $h_a$:$H^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\left(\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3\right)$.Извлекая квадратный корень, получаем высоту:$H = \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$.(Для существования такой пирамиды необходимо, чтобы сумма плоских углов при вершине была меньше $360^\circ$, то есть $6\alpha < 360^\circ \implies \alpha < 60^\circ$. При этом условии $\frac{\alpha}{2} < 30^\circ$ и $\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) > \sqrt{3}$, поэтому выражение под корнем всегда положительно).

3. Вычислим площадь осевого сечения конуса.Подставим найденные значения $r$ и $H$ в формулу площади:$S_{сеч} = rH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$.$S_{сеч} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$

166. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

166. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

Поскольку по условию задачи все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Конус, вписанный в пирамиду, будет иметь ту же высоту, что и пирамида, а его основанием будет окружность, вписанная в треугольник в основании пирамиды.

Таким образом, для нахождения площади осевого сечения конуса нам необходимо найти его высоту $H$ и радиус его основания $R$, который равен радиусу $r$ вписанной в треугольник-основание окружности.

Нахождение радиуса основания конуса

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см, и $c = 15$ см. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона. Для этого сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S_{осн}$: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ $S_{осн} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Радиус вписанной окружности $r$, который равен радиусу основания конуса $R$, находится по формуле $S_{осн} = p \cdot r$: $R = r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см.

Нахождение высоты конуса

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $r$ и $H$ являются катетами. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проведенным в точку касания) является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и по условию он равен $30^{\circ}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(30^{\circ}) = \frac{H}{r}$ $H = r \cdot \tan(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Нахождение площади осевого сечения конуса

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Подставляем найденные значения $R$ и $H$: $S_{сеч} = 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см².

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $S_{сеч} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см².

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Поскольку пирамида описана около конуса, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Это означает, что радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в ромб.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Сначала найдем характеристики ромба, зная его диагонали $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см.

Площадь ромба $S_{ромба}$ вычисляется по формуле:

$S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.

Сторону ромба $a$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 + (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Площадь ромба также можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h$: $S_{ромба} = a \cdot h$. Высота ромба, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Таким образом, $S_{ромба} = a \cdot 2r$. Отсюда мы можем найти радиус $r$:

$r = \frac{S_{ромба}}{2a} = \frac{96}{2 \cdot 10} = \frac{96}{20} = 4.8 \text{ см}$.

Это и есть радиус основания конуса.

2. Найдем образующую конуса $l$.

Условие, что все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, означает, что вершина пирамиды (и, следовательно, конуса) проецируется в центр вписанной в основание окружности. Апофемы всех боковых граней пирамиды равны между собой и являются образующими конуса $l$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$. Линейным углом двугранного угла при ребре основания является угол между апофемой (образующей $l$) и радиусом $r$, проведенным к точке касания. По условию, этот угол равен $30^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катет $r$ является прилежащим к углу $30^\circ$, а образующая $l$ — гипотенузой. Таким образом:

$\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}$

Отсюда найдем образующую $l$:

$l = \frac{r}{\cos(30^\circ)} = \frac{4.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4.8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{9.6}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S_{бок} = \pi \cdot 4.8 \cdot \frac{9.6}{\sqrt{3}} = \frac{46.08\pi}{\sqrt{3}} \text{ см}^2$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{бок} = \frac{46.08\pi \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{46.08\sqrt{3}\pi}{3} = 15.36\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $15.36\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 20 см, а одно из оснований — 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 20 см, а одно из оснований — 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку в пирамиду вписан конус, то в основание пирамиды (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Это возможно только в том случае, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию $c = 20$ см. Тогда условие вписанной окружности для равнобокой трапеции выглядит так:$a + b = 2c$$a + b = 2 \cdot 20 = 40$ см.

По условию, одно из оснований равно 32 см. Пусть $a = 32$ см. Тогда второе основание $b$ равно:$b = 40 - a = 40 - 32 = 8$ см.Итак, основания трапеции равны 32 см и 8 см.

Радиус $r$ вписанной окружности (который также является радиусом основания конуса) равен половине высоты трапеции $h$. Найдем высоту трапеции. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c=20$ см, а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований:$\frac{a-b}{2} = \frac{32-8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

По теореме Пифагора найдем второй катет, который и является высотой трапеции $h$:$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен:$r = \frac{h}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $45^\circ$, то высота пирамиды $H$ (которая является и высотой конуса) проецируется в центр вписанной окружности. Угол наклона боковой грани — это угол между апофемой пирамиды и радиусом вписанной окружности, проведенным в точку касания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей конуса (которая лежит на апофеме пирамиды). В этом треугольнике катеты $H$ и $r$ связаны через угол $45^\circ$:$\frac{H}{r} = \tan(45^\circ)$Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r = 8$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$

Подставим найденные значения $r$ и $H$:$S_{сеч} = 8 \cdot 8 = 64$ см$^2$.

Ответ: 64 см$^2$.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом при основании $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом при основании $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон.} = \pi r L$, где $r$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Так как конус вписан в пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник в основании пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса (r)

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углами при основании $\alpha$. Найдем радиус вписанной в него окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Пусть боковая сторона треугольника равна $b$. Проведем высоту к основанию $m$. Эта высота разделит основание на два отрезка по $\frac{m}{2}$. Из полученного прямоугольного треугольника найдем боковую сторону:

$\cos(\alpha) = \frac{m/2}{b} \implies b = \frac{m}{2\cos(\alpha)}$

Теперь найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{m + b + b}{2} = \frac{m + 2b}{2} = \frac{m + 2 \cdot \frac{m}{2\cos(\alpha)}}{2} = \frac{m(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)})}{2} = \frac{m(1+\cos(\alpha))}{2\cos(\alpha)}$

Найдем высоту треугольника $h$, проведенную к основанию $m$:

$h = \frac{m}{2} \tan(\alpha)$

Площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} m h = \frac{1}{2} m \cdot \frac{m}{2} \tan(\alpha) = \frac{m^2 \tan(\alpha)}{4}$

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{m^2 \tan(\alpha)}{4}}{\frac{m(1+\cos(\alpha))}{2\cos(\alpha)}} = \frac{m^2 \tan(\alpha) \cdot 2\cos(\alpha)}{4m(1+\cos(\alpha))} = \frac{m \sin(\alpha)}{2(1+\cos(\alpha))}$

Используя формулы половинного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1+\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение:

$r = \frac{m \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m \sin(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$

2. Найдем образующую конуса (L)

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\phi$, вершина пирамиды (и конуса) проецируется в центр вписанной окружности основания (инцентр).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей конуса $L$. Образующая $L$ является гипотенузой.

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани пирамиды образуют прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проведенным в точку касания) является линейным углом двугранного угла при основании и равен $\phi$. Образующая конуса, проведенная к точке касания, совпадает с апофемой пирамиды.

В этом прямоугольном треугольнике $r$ — прилежащий катет к углу $\phi$, а $L$ — гипотенуза. Таким образом:

$\cos(\phi) = \frac{r}{L} \implies L = \frac{r}{\cos(\phi)}$

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса

Подставим найденные выражения для $r$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок.кон.} = \pi r L = \pi \cdot r \cdot \frac{r}{\cos(\phi)} = \frac{\pi r^2}{\cos(\phi)}$

Теперь подставим значение $r = \frac{m}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$:

$S_{бок.кон.} = \frac{\pi}{\cos(\phi)} \left( \frac{m}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\phi)} \cdot \frac{m^2}{4} \tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi m^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\phi)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\phi)}$