Номер 161, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная пирамида. Боковое ребро пирамиды равно $b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, равен $30^{\circ}$.

Конус описан около данной пирамиды. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный многоугольник) вписано в основание конуса (круг).

Из этого следует, что образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды.

Таким образом, образующая конуса $L = b$.

Для нахождения радиуса основания конуса $R$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $b$ (гипотенуза) и радиусом описанной окружности основания $R$ (катет). Угол между боковым ребром $b$ и его проекцией на основание (радиусом $R$) по условию задачи равен $30^{\circ}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\cos(30^{\circ}) = \frac{R}{b}$
Отсюда находим радиус $R$:
$R = b \cdot \cos(30^{\circ}) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$.

Подставим значения $L=b$ и $R = b \frac{\sqrt{3}}{2}$ в формулу:
$S_{полн} = \pi \left(b \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(b \frac{\sqrt{3}}{2} + b\right)$.

Упростим выражение:
$S_{полн} = \pi \left(b \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot b\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \pi b^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}\right) = \pi b^2 \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)}{4} = \pi b^2 \frac{3 + 2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi b^2 (3 + 2\sqrt{3})}{4}$.