Номер 155, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Высота усечённого конуса равна $H$, а диагонали его осевого сечения перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\beta$.

155. Высота усечённого конуса равна $H$, а диагонали его осевого сечения перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\beta$.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса, а $l$ — его образующая. Высота конуса по условию равна $H$.Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, основаниями которой являются диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковыми сторонами — образующие ($l$), а высотой — высота конуса ($H$).

По условию, образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\beta$. В осевом сечении это угол между боковой стороной трапеции и её большим основанием. Проведём в трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является образующая $l$, а одним из катетов — высота $H$. Угол, противолежащий катету $H$, равен $\beta$.Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\sin\beta = \frac{H}{l}$Отсюда выразим образующую:$l = \frac{H}{\sin\beta}$

Теперь используем второе условие: диагонали осевого сечения перпендикулярны. Осевое сечение — это равнобокая трапеция с перпендикулярными диагоналями.Для такой трапеции существует свойство: её высота равна полусумме оснований.$H = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

Докажем это свойство. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке О. Они делят трапецию на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к основаниям, являются равнобедренными и, по условию, прямоугольными (так как диагонали перпендикулярны). Высота трапеции складывается из высот этих двух треугольников, проведённых из точки О к основаниям. Высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.Высота треугольника с основанием $2R$ равна $\frac{2R}{2} = R$.Высота треугольника с основанием $2r$ равна $\frac{2r}{2} = r$.Таким образом, высота всей трапеции $H = R + r$.

Теперь у нас есть все необходимые величины для нахождения площади боковой поверхности. Подставим найденные выражения для $(R+r)$ и $l$ в исходную формулу:$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi \cdot H \cdot \frac{H}{\sin\beta}$$S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\sin\beta}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\sin\beta}$