Номер 153, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Радиусы оснований усечённого конуса равны 10 см и 8 см, а его образующая перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящего через эту образующую.

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

153. Радиусы оснований усечённого конуса равны 10 см и 8 см, а его образующая перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящего через эту образующую.

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.

Из условия задачи известны радиусы оснований: $R = 10$ см и $r = 8$ см. Для нахождения площади боковой поверхности необходимо определить длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, назовем её $ABCD$. Основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса: $AD = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см; $BC = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см. Боковая сторона трапеции $AB$ равна образующей конуса, то есть $AB = l$.

По условию, образующая перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящего через эту образующую. Возьмем образующую $AB$ и диагональ $BD$. Таким образом, $AB \perp BD$, и треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($ \angle ABD = 90^\circ $).

Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$, который является проекцией боковой стороны $AB$ на большее основание, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AD$. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ и его проекции $AH$ это соотношение выглядит так: $AB^2 = AD \cdot AH$.

Подставим известные значения, чтобы найти $l = AB$: $l^2 = 20 \cdot 2 = 40$. Отсюда находим длину образующей: $l = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Теперь, зная все необходимые величины, можем вычислить площадь боковой поверхности усечённого конуса: $S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (10 + 8) \cdot 2\sqrt{10} = 18\pi \cdot 2\sqrt{10} = 36\pi\sqrt{10}$ см$^2$.

Ответ: $36\pi\sqrt{10} \text{ см}^2$.