Номер 156, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 2\sqrt{15}$ см, $BC = 7$ см, $AD = 9$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 2\sqrt{15}$ см, $BC = 7$ см, $AD = 9$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

По условию, трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp AD$. При вращении этой трапеции вокруг стороны $AB$ образуется усеченный конус.

Высота $h$ этого конуса равна стороне $AB$, то есть $h = AB = 2\sqrt{15}$ см.

Радиусы оснований усеченного конуса равны основаниям трапеции. Радиус меньшего основания $r_1$ равен $BC$, а радиус большего основания $r_2$ равен $AD$.

$r_1 = BC = 7$ см.

$r_2 = AD = 9$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$, где $l$ — длина образующей.

Образующая $l$ усеченного конуса равна боковой стороне $CD$ трапеции. Чтобы найти ее длину, проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.

Из прямоугольника $ABCH$ следует, что:

$CH = AB = 2\sqrt{15}$ см.

$AH = BC = 7$ см.

Найдем длину отрезка $HD$:

$HD = AD - AH = 9 - 7 = 2$ см.

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CHD$ найдем гипотенузу $CD$, которая является образующей $l$:

$l^2 = CD^2 = CH^2 + HD^2$

$l^2 = (2\sqrt{15})^2 + 2^2 = 4 \cdot 15 + 4 = 60 + 4 = 64$

$l = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (7 + 9) \cdot 8 = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi$ см$^2$.

Ответ: $128\pi$ см$^2$.