Номер 154, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна 81 $\text{см}^2$, а площадь большего основания — 121 $\text{см}^2$. Найдите площадь меньшего основания усечённого конуса.

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $81 \text{ см}^2$, а площадь большего основания — $121 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего основания усечённого конуса.

Пусть $S_1$ — искомая площадь меньшего основания усеченного конуса, $S_2$ — площадь большего основания, а $S_{ср}$ — площадь сечения, проведенного через середину высоты. Радиусы этих кругов обозначим как $R_1$, $R_2$ и $R_{ср}$ соответственно.

По условию задачи имеем:
Площадь большего основания $S_2 = 121 \text{ см}^2$.
Площадь сечения $S_{ср} = 81 \text{ см}^2$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой служат диаметры оснований конуса ($D_1 = 2R_1$ и $D_2 = 2R_2$). Сечение, проведенное через середину высоты конуса параллельно основаниям, в осевом сечении будет соответствовать средней линии этой трапеции. Диаметр этого сечения равен $D_{ср} = 2R_{ср}$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Следовательно, для диаметров выполняется соотношение:
$D_{ср} = \frac{D_1 + D_2}{2}$

Разделив обе части равенства на 2, получим аналогичное соотношение для радиусов:
$R_{ср} = \frac{R_1 + R_2}{2}$

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Отсюда радиус можно выразить через площадь: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$. Подставим это выражение в соотношение для радиусов:
$\sqrt{\frac{S_{ср}}{\pi}} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{\pi}} + \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}}{2}$

Упростим полученное уравнение, умножив обе части на $2\sqrt{\pi}$:
$2\sqrt{\pi} \cdot \frac{\sqrt{S_{ср}}}{\sqrt{\pi}} = 2\sqrt{\pi} \cdot \frac{\sqrt{S_1}/\sqrt{\pi} + \sqrt{S_2}/\sqrt{\pi}}{2}$
$2\sqrt{S_{ср}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$
Это означает, что корень квадратный из площади среднего сечения является средним арифметическим корней квадратных из площадей оснований.

Подставим известные значения $S_{ср} = 81$ и $S_2 = 121$ в выведенную формулу:
$2\sqrt{81} = \sqrt{S_1} + \sqrt{121}$
$2 \cdot 9 = \sqrt{S_1} + 11$
$18 = \sqrt{S_1} + 11$

Теперь выразим и найдем $\sqrt{S_1}$:
$\sqrt{S_1} = 18 - 11$
$\sqrt{S_1} = 7$

Чтобы найти площадь меньшего основания $S_1$, возведем обе части последнего равенства в квадрат:
$S_1 = 7^2 = 49$

Таким образом, площадь меньшего основания усеченного конуса составляет 49 см².

Ответ: 49 см².