Номер 160, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь осевого сечения конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник, вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = R \cdot H$

где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Конус описан около правильной шестиугольной пирамиды. Это означает, что основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в основание конуса (окружность). Следовательно, вершины шестиугольника лежат на этой окружности. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$, равен самой стороне шестиугольника.

$R = a$

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Пусть $S$ – вершина пирамиды, а $O$ – центр ее основания. Тогда $SO = H$.Двугранный угол при ребре основания пирамиды, равный $\alpha$, – это угол между боковой гранью и плоскостью основания.Рассмотрим треугольник $SOM$, где $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, а $M$ – середина одной из сторон основания. В этом треугольнике:

• $SO = H$ – высота пирамиды.
• $OM$ – апофема основания (перпендикуляр из центра к стороне). Для правильного шестиугольника со стороной $a$ апофема равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$, то есть $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $SM$ – апофема боковой грани.
• $\angle SMO = \alpha$ – это и есть заданный двугранный угол.

Треугольник $SOM$ является прямоугольным ($\angle SOM = 90^\circ$). Из него мы можем выразить высоту $H$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$

$H = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади:

$S_{сеч} = R \cdot H = a \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$