Номер 164, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

164. Апофема правильной пирамиды равна m и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Апофема пирамиды (высота боковой грани), обозначим ее $SK$, по условию равна $m$. Угол, который апофема образует с плоскостью основания, — это угол между самой апофемой $SK$ и ее проекцией $OK$ на плоскость основания. Таким образом, $\angle SKO = 60^{\circ}$.

Конус, вписанный в данную пирамиду, имеет ту же вершину $S$ и ту же высоту $SO$, что и пирамида. Основание конуса представляет собой круг, вписанный в многоугольник, лежащий в основании пирамиды. Радиус основания конуса $r$ равен отрезку $OK$ (апофеме основания пирамиды). Образующая конуса $L$ совпадает с апофемой пирамиды $SK$.

Следовательно, для вписанного конуса мы имеем:

Образующая $L = SK = m$.
Радиус основания $r = OK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ (так как $SO$ — высота, $\angle SOK = 90^{\circ}$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $SK = m$ и прилежащий к катету $OK$ угол $\angle SKO = 60^{\circ}$. Найдем длину катета $OK$, который является радиусом основания конуса $r$:

$r = OK = SK \cdot \cos(\angle SKO) = m \cdot \cos(60^{\circ})$

Поскольку $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$r = m \cdot \frac{1}{2} = \frac{m}{2}$

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн} = \pi r^2$ — площадь основания, а $S_{бок} = \pi r L$ — площадь боковой поверхности.

$S_{полн} = \pi r^2 + \pi r L$

Подставим найденные значения $r = \frac{m}{2}$ и $L = m$ в формулу:

$S_{полн} = \pi \left(\frac{m}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{m}{2}\right) \cdot m = \frac{\pi m^2}{4} + \frac{\pi m^2}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2}{4} + \frac{2\pi m^2}{4} = \frac{\pi m^2 + 2\pi m^2}{4} = \frac{3\pi m^2}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi m^2}{4}$