Номер 168, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 20 см, а одно из оснований — 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 20 см, а одно из оснований — 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку в пирамиду вписан конус, то в основание пирамиды (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Это возможно только в том случае, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию $c = 20$ см. Тогда условие вписанной окружности для равнобокой трапеции выглядит так:$a + b = 2c$$a + b = 2 \cdot 20 = 40$ см.

По условию, одно из оснований равно 32 см. Пусть $a = 32$ см. Тогда второе основание $b$ равно:$b = 40 - a = 40 - 32 = 8$ см.Итак, основания трапеции равны 32 см и 8 см.

Радиус $r$ вписанной окружности (который также является радиусом основания конуса) равен половине высоты трапеции $h$. Найдем высоту трапеции. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c=20$ см, а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований:$\frac{a-b}{2} = \frac{32-8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

По теореме Пифагора найдем второй катет, который и является высотой трапеции $h$:$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен:$r = \frac{h}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $45^\circ$, то высота пирамиды $H$ (которая является и высотой конуса) проецируется в центр вписанной окружности. Угол наклона боковой грани — это угол между апофемой пирамиды и радиусом вписанной окружности, проведенным в точку касания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей конуса (которая лежит на апофеме пирамиды). В этом треугольнике катеты $H$ и $r$ связаны через угол $45^\circ$:$\frac{H}{r} = \tan(45^\circ)$Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r = 8$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$

Подставим найденные значения $r$ и $H$:$S_{сеч} = 8 \cdot 8 = 64$ см$^2$.

Ответ: 64 см$^2$.