Номер 167, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Поскольку пирамида описана около конуса, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Это означает, что радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в ромб.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Сначала найдем характеристики ромба, зная его диагонали $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см.

Площадь ромба $S_{ромба}$ вычисляется по формуле:

$S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.

Сторону ромба $a$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 + (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Площадь ромба также можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h$: $S_{ромба} = a \cdot h$. Высота ромба, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Таким образом, $S_{ромба} = a \cdot 2r$. Отсюда мы можем найти радиус $r$:

$r = \frac{S_{ромба}}{2a} = \frac{96}{2 \cdot 10} = \frac{96}{20} = 4.8 \text{ см}$.

Это и есть радиус основания конуса.

2. Найдем образующую конуса $l$.

Условие, что все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, означает, что вершина пирамиды (и, следовательно, конуса) проецируется в центр вписанной в основание окружности. Апофемы всех боковых граней пирамиды равны между собой и являются образующими конуса $l$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$. Линейным углом двугранного угла при ребре основания является угол между апофемой (образующей $l$) и радиусом $r$, проведенным к точке касания. По условию, этот угол равен $30^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катет $r$ является прилежащим к углу $30^\circ$, а образующая $l$ — гипотенузой. Таким образом:

$\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}$

Отсюда найдем образующую $l$:

$l = \frac{r}{\cos(30^\circ)} = \frac{4.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4.8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{9.6}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S_{бок} = \pi \cdot 4.8 \cdot \frac{9.6}{\sqrt{3}} = \frac{46.08\pi}{\sqrt{3}} \text{ см}^2$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{бок} = \frac{46.08\pi \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{46.08\sqrt{3}\pi}{3} = 15.36\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $15.36\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.