Номер 165, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

165. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Осевое сечение вписанного конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса ($H$), которая совпадает с высотой пирамиды. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ находится по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.Для решения задачи необходимо найти радиус основания конуса $r$ и его высоту $H$.

1. Найдём радиус $r$ основания конуса.Основание конуса — это окружность, вписанная в основание пирамиды, то есть в правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен его апофеме. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна высоте равностороннего треугольника с такой же стороной.Следовательно,$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём высоту $H$ конуса.Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Сначала найдём апофему боковой грани пирамиды (обозначим её $h_a$). Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при вершине $\alpha$. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, половиной основания ($\frac{a}{2}$) и боковым ребром. Угол, противолежащий катету $\frac{a}{2}$, равен $\frac{\alpha}{2}$.Из определения котангенса:$\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h_a}{a/2}$, откуда $h_a = \frac{a}{2}\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Высота пирамиды $H$, апофема основания $r$ и апофема боковой грани $h_a$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $h_a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$H^2 + r^2 = h_a^2$$H^2 = h_a^2 - r^2$Подставим найденные ранее выражения для $r$ и $h_a$:$H^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\left(\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3\right)$.Извлекая квадратный корень, получаем высоту:$H = \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$.(Для существования такой пирамиды необходимо, чтобы сумма плоских углов при вершине была меньше $360^\circ$, то есть $6\alpha < 360^\circ \implies \alpha < 60^\circ$. При этом условии $\frac{\alpha}{2} < 30^\circ$ и $\text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) > \sqrt{3}$, поэтому выражение под корнем всегда положительно).

3. Вычислим площадь осевого сечения конуса.Подставим найденные значения $r$ и $H$ в формулу площади:$S_{сеч} = rH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$.$S_{сеч} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\sqrt{\text{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 3}$