Номер 157, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла, равного $\alpha$, перпендикулярно гипотенузе и лежит в плоскости треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

157. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла, равного $\alpha$, перпендикулярно гипотенузе и лежит в плоскости треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Гипотенуза $AB = c$, а острый угол $\angle A = \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Катеты треугольника равны:
Прилежащий к углу $\alpha$ катет: $AC = AB \cos \alpha = c \cos \alpha$.
Противолежащий углу $\alpha$ катет: $BC = AB \sin \alpha = c \sin \alpha$.

Треугольник вращается вокруг прямой $l$, которая проходит через вершину A, перпендикулярна гипотенузе AB и лежит в плоскости треугольника.

Для удобства расчетов введем систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0, 0). Так как ось вращения $l$ проходит через A и перпендикулярна гипотенузе AB, направим ось вращения $l$ вдоль оси Oy, а гипотенузу AB — вдоль оси Ox.
Тогда координаты вершин A и B будут: $A(0, 0)$ и $B(c, 0)$.

Найдем координаты вершины C. Проведем из точки C высоту CH на гипотенузу AB. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза $AC = c \cos \alpha$ и угол $\angle CAH = \alpha$. Тогда:
$x_C = AH = AC \cos \alpha = (c \cos \alpha) \cos \alpha = c \cos^2 \alpha$.
$y_C = CH = AC \sin \alpha = (c \cos \alpha) \sin \alpha = c \sin \alpha \cos \alpha$.
Таким образом, координаты вершины $C(c \cos^2 \alpha, c \sin \alpha \cos \alpha)$.

Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением катета AC, и поверхности, образованной вращением катета BC.

1. Поверхность от вращения катета AC.
При вращении отрезка AC вокруг оси Oy образуется боковая поверхность конуса. Вершина этого конуса находится в точке A(0, 0). Радиус основания конуса равен абсциссе точки C, то есть $r_1 = x_C = c \cos^2 \alpha$. Образующая конуса — это длина отрезка AC, то есть $l_1 = AC = c \cos \alpha$.
Площадь боковой поверхности конуса $S_1$ вычисляется по формуле $S = \pi r l$.
$S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi (c \cos^2 \alpha) (c \cos \alpha) = \pi c^2 \cos^3 \alpha$.

2. Поверхность от вращения катета BC.
При вращении отрезка BC вокруг оси Oy образуется боковая поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны абсциссам точек B и C:
Больший радиус: $R = x_B = c$.
Меньший радиус: $r = x_C = c \cos^2 \alpha$.
Образующая — это длина отрезка BC, то есть $l_2 = BC = c \sin \alpha$.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_2$ вычисляется по формуле $S = \pi (R+r) l$.
$S_2 = \pi (c + c \cos^2 \alpha) (c \sin \alpha) = \pi c^2 \sin \alpha (1 + \cos^2 \alpha)$.

3. Общая площадь поверхности.
Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:
$S = S_1 + S_2 = \pi c^2 \cos^3 \alpha + \pi c^2 \sin \alpha (1 + \cos^2 \alpha)$.
Раскроем скобки и сгруппируем:
$S = \pi c^2 (\cos^3 \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha \cos^2 \alpha) = \pi c^2 (\sin \alpha + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha))$.
Это выражение можно оставить в таком виде.

Ответ: $S = \pi c^2 (\cos^3 \alpha + \sin \alpha (1 + \cos^2 \alpha))$.