Страница 56 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна 81 $\text{см}^2$, а площадь большего основания — 121 $\text{см}^2$. Найдите площадь меньшего основания усечённого конуса.

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $81 \text{ см}^2$, а площадь большего основания — $121 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего основания усечённого конуса.

Пусть $S_1$ — искомая площадь меньшего основания усеченного конуса, $S_2$ — площадь большего основания, а $S_{ср}$ — площадь сечения, проведенного через середину высоты. Радиусы этих кругов обозначим как $R_1$, $R_2$ и $R_{ср}$ соответственно.

По условию задачи имеем:
Площадь большего основания $S_2 = 121 \text{ см}^2$.
Площадь сечения $S_{ср} = 81 \text{ см}^2$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой служат диаметры оснований конуса ($D_1 = 2R_1$ и $D_2 = 2R_2$). Сечение, проведенное через середину высоты конуса параллельно основаниям, в осевом сечении будет соответствовать средней линии этой трапеции. Диаметр этого сечения равен $D_{ср} = 2R_{ср}$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Следовательно, для диаметров выполняется соотношение:
$D_{ср} = \frac{D_1 + D_2}{2}$

Разделив обе части равенства на 2, получим аналогичное соотношение для радиусов:
$R_{ср} = \frac{R_1 + R_2}{2}$

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Отсюда радиус можно выразить через площадь: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$. Подставим это выражение в соотношение для радиусов:
$\sqrt{\frac{S_{ср}}{\pi}} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{\pi}} + \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}}{2}$

Упростим полученное уравнение, умножив обе части на $2\sqrt{\pi}$:
$2\sqrt{\pi} \cdot \frac{\sqrt{S_{ср}}}{\sqrt{\pi}} = 2\sqrt{\pi} \cdot \frac{\sqrt{S_1}/\sqrt{\pi} + \sqrt{S_2}/\sqrt{\pi}}{2}$
$2\sqrt{S_{ср}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$
Это означает, что корень квадратный из площади среднего сечения является средним арифметическим корней квадратных из площадей оснований.

Подставим известные значения $S_{ср} = 81$ и $S_2 = 121$ в выведенную формулу:
$2\sqrt{81} = \sqrt{S_1} + \sqrt{121}$
$2 \cdot 9 = \sqrt{S_1} + 11$
$18 = \sqrt{S_1} + 11$

Теперь выразим и найдем $\sqrt{S_1}$:
$\sqrt{S_1} = 18 - 11$
$\sqrt{S_1} = 7$

Чтобы найти площадь меньшего основания $S_1$, возведем обе части последнего равенства в квадрат:
$S_1 = 7^2 = 49$

Таким образом, площадь меньшего основания усеченного конуса составляет 49 см².

Ответ: 49 см².

155. Высота усечённого конуса равна $H$, а диагонали его осевого сечения перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\beta$.

155. Высота усечённого конуса равна $H$, а диагонали его осевого сечения перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\beta$.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса, а $l$ — его образующая. Высота конуса по условию равна $H$.Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, основаниями которой являются диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковыми сторонами — образующие ($l$), а высотой — высота конуса ($H$).

По условию, образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\beta$. В осевом сечении это угол между боковой стороной трапеции и её большим основанием. Проведём в трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является образующая $l$, а одним из катетов — высота $H$. Угол, противолежащий катету $H$, равен $\beta$.Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\sin\beta = \frac{H}{l}$Отсюда выразим образующую:$l = \frac{H}{\sin\beta}$

Теперь используем второе условие: диагонали осевого сечения перпендикулярны. Осевое сечение — это равнобокая трапеция с перпендикулярными диагоналями.Для такой трапеции существует свойство: её высота равна полусумме оснований.$H = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

Докажем это свойство. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке О. Они делят трапецию на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к основаниям, являются равнобедренными и, по условию, прямоугольными (так как диагонали перпендикулярны). Высота трапеции складывается из высот этих двух треугольников, проведённых из точки О к основаниям. Высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.Высота треугольника с основанием $2R$ равна $\frac{2R}{2} = R$.Высота треугольника с основанием $2r$ равна $\frac{2r}{2} = r$.Таким образом, высота всей трапеции $H = R + r$.

Теперь у нас есть все необходимые величины для нахождения площади боковой поверхности. Подставим найденные выражения для $(R+r)$ и $l$ в исходную формулу:$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi \cdot H \cdot \frac{H}{\sin\beta}$$S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\sin\beta}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\sin\beta}$

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 2\sqrt{15}$ см, $BC = 7$ см, $AD = 9$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 2\sqrt{15}$ см, $BC = 7$ см, $AD = 9$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

По условию, трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp AD$. При вращении этой трапеции вокруг стороны $AB$ образуется усеченный конус.

Высота $h$ этого конуса равна стороне $AB$, то есть $h = AB = 2\sqrt{15}$ см.

Радиусы оснований усеченного конуса равны основаниям трапеции. Радиус меньшего основания $r_1$ равен $BC$, а радиус большего основания $r_2$ равен $AD$.

$r_1 = BC = 7$ см.

$r_2 = AD = 9$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$, где $l$ — длина образующей.

Образующая $l$ усеченного конуса равна боковой стороне $CD$ трапеции. Чтобы найти ее длину, проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.

Из прямоугольника $ABCH$ следует, что:

$CH = AB = 2\sqrt{15}$ см.

$AH = BC = 7$ см.

Найдем длину отрезка $HD$:

$HD = AD - AH = 9 - 7 = 2$ см.

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CHD$ найдем гипотенузу $CD$, которая является образующей $l$:

$l^2 = CD^2 = CH^2 + HD^2$

$l^2 = (2\sqrt{15})^2 + 2^2 = 4 \cdot 15 + 4 = 60 + 4 = 64$

$l = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (7 + 9) \cdot 8 = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi$ см$^2$.

Ответ: $128\pi$ см$^2$.

157. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла, равного $\alpha$, перпендикулярно гипотенузе и лежит в плоскости треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

157. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла, равного $\alpha$, перпендикулярно гипотенузе и лежит в плоскости треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Гипотенуза $AB = c$, а острый угол $\angle A = \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Катеты треугольника равны:
Прилежащий к углу $\alpha$ катет: $AC = AB \cos \alpha = c \cos \alpha$.
Противолежащий углу $\alpha$ катет: $BC = AB \sin \alpha = c \sin \alpha$.

Треугольник вращается вокруг прямой $l$, которая проходит через вершину A, перпендикулярна гипотенузе AB и лежит в плоскости треугольника.

Для удобства расчетов введем систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0, 0). Так как ось вращения $l$ проходит через A и перпендикулярна гипотенузе AB, направим ось вращения $l$ вдоль оси Oy, а гипотенузу AB — вдоль оси Ox.
Тогда координаты вершин A и B будут: $A(0, 0)$ и $B(c, 0)$.

Найдем координаты вершины C. Проведем из точки C высоту CH на гипотенузу AB. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза $AC = c \cos \alpha$ и угол $\angle CAH = \alpha$. Тогда:
$x_C = AH = AC \cos \alpha = (c \cos \alpha) \cos \alpha = c \cos^2 \alpha$.
$y_C = CH = AC \sin \alpha = (c \cos \alpha) \sin \alpha = c \sin \alpha \cos \alpha$.
Таким образом, координаты вершины $C(c \cos^2 \alpha, c \sin \alpha \cos \alpha)$.

Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением катета AC, и поверхности, образованной вращением катета BC.

1. Поверхность от вращения катета AC.
При вращении отрезка AC вокруг оси Oy образуется боковая поверхность конуса. Вершина этого конуса находится в точке A(0, 0). Радиус основания конуса равен абсциссе точки C, то есть $r_1 = x_C = c \cos^2 \alpha$. Образующая конуса — это длина отрезка AC, то есть $l_1 = AC = c \cos \alpha$.
Площадь боковой поверхности конуса $S_1$ вычисляется по формуле $S = \pi r l$.
$S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi (c \cos^2 \alpha) (c \cos \alpha) = \pi c^2 \cos^3 \alpha$.

2. Поверхность от вращения катета BC.
При вращении отрезка BC вокруг оси Oy образуется боковая поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны абсциссам точек B и C:
Больший радиус: $R = x_B = c$.
Меньший радиус: $r = x_C = c \cos^2 \alpha$.
Образующая — это длина отрезка BC, то есть $l_2 = BC = c \sin \alpha$.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_2$ вычисляется по формуле $S = \pi (R+r) l$.
$S_2 = \pi (c + c \cos^2 \alpha) (c \sin \alpha) = \pi c^2 \sin \alpha (1 + \cos^2 \alpha)$.

3. Общая площадь поверхности.
Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:
$S = S_1 + S_2 = \pi c^2 \cos^3 \alpha + \pi c^2 \sin \alpha (1 + \cos^2 \alpha)$.
Раскроем скобки и сгруппируем:
$S = \pi c^2 (\cos^3 \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha \cos^2 \alpha) = \pi c^2 (\sin \alpha + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha))$.
Это выражение можно оставить в таком виде.

Ответ: $S = \pi c^2 (\cos^3 \alpha + \sin \alpha (1 + \cos^2 \alpha))$.

158. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а высота — $\sqrt{11}$ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

158. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а высота — $\sqrt{11}$ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида. Сторона ее основания $a = 5$ см, а высота $H = \sqrt{11}$ см. Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину и ту же высоту, что и пирамида. Основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в основание конуса (окружность).

Следовательно, высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$:
$h = H = \sqrt{11}$ см.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника в основании пирамиды. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне $a$. Таким образом:
$R = a = 5$ см.

Образующая конуса $L$, его высота $h$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора:
$L^2 = R^2 + h^2$

Подставим известные значения в эту формулу:
$L^2 = 5^2 + (\sqrt{11})^2$
$L^2 = 25 + 11$
$L^2 = 36$
$L = \sqrt{36}$
$L = 6$ см.

Ответ: 6 см.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна 12 см и образует с диагональю угол 60°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 18 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна 12 см и образует с диагональю угол $60^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды равно 18 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

1. Найдем диагональ основания пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольник. Пусть одна из его сторон $a = 12$ см. Эта сторона образует с диагональю $d$ прямоугольника угол $\alpha = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и его диагональю, сторона $a$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Соотношение между ними выражается через косинус: $\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$.

Отсюда найдем диагональ $d$:

$d = \frac{a}{\cos(60^\circ)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.

2. Определим параметры описанного конуса.

Конус описан около пирамиды. Это означает, что основание конуса — это круг, описанный около основания пирамиды (прямоугольника), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($l = 18$ см), ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей.

Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали прямоугольника:

$R = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды: $L = 18$ см.

3. Найдем высоту конуса.

Высота конуса $H$, его радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{(18-12)(18+12)} = \sqrt{6 \cdot 30} = \sqrt{180}$ см.

Упростим корень: $H = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

4. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$).

Площадь этого треугольника $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{сеч} = 12 \cdot 6\sqrt{5} = 72\sqrt{5}$ см².

Ответ: $72\sqrt{5}$ см².

160. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь осевого сечения конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник, вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = R \cdot H$

где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Конус описан около правильной шестиугольной пирамиды. Это означает, что основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в основание конуса (окружность). Следовательно, вершины шестиугольника лежат на этой окружности. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$, равен самой стороне шестиугольника.

$R = a$

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Пусть $S$ – вершина пирамиды, а $O$ – центр ее основания. Тогда $SO = H$.Двугранный угол при ребре основания пирамиды, равный $\alpha$, – это угол между боковой гранью и плоскостью основания.Рассмотрим треугольник $SOM$, где $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, а $M$ – середина одной из сторон основания. В этом треугольнике:

• $SO = H$ – высота пирамиды.
• $OM$ – апофема основания (перпендикуляр из центра к стороне). Для правильного шестиугольника со стороной $a$ апофема равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$, то есть $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $SM$ – апофема боковой грани.
• $\angle SMO = \alpha$ – это и есть заданный двугранный угол.

Треугольник $SOM$ является прямоугольным ($\angle SOM = 90^\circ$). Из него мы можем выразить высоту $H$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$

$H = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади:

$S_{сеч} = R \cdot H = a \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$