Страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 6 см, а боковое ребро — $2\sqrt{17}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

205. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 6 см, а боковое ребро — $2\sqrt{17}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Для нахождения радиуса $R$ описанного шара, воспользуемся тем фактом, что центр описанного шара для правильной усеченной пирамиды лежит на ее высоте и равноудален от всех вершин пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через противоположные вершины оснований. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, вершины которой лежат на описанной сфере. Окружность, описанная около этой трапеции, является большим кругом описанной сферы, а ее радиус равен радиусу сферы $R$.

1. Найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды.

Основаниями являются правильные шестиугольники. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне.

Пусть $a_1$ — сторона верхнего (меньшего) основания, $a_2$ — сторона нижнего (большего) основания.
По условию, $a_1 = 2$ см и $a_2 = 6$ см.
Радиус окружности, описанной около верхнего основания: $R_1 = a_1 = 2$ см.
Радиус окружности, описанной около нижнего основания: $R_2 = a_2 = 6$ см.

Эти радиусы являются расстояниями от центров оснований до их вершин.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l$, высотой пирамиды $h$ и разностью радиусов описанных окружностей оснований $(R_2 - R_1)$. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R_2 - R_1)^2$

По условию, $l = 2\sqrt{17}$ см. Подставим известные значения:$(2\sqrt{17})^2 = h^2 + (6 - 2)^2$$4 \cdot 17 = h^2 + 4^2$$68 = h^2 + 16$$h^2 = 68 - 16 = 52$$h = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

3. Найдем радиус описанного шара $R$.

Пусть центр описанного шара $O$ находится на высоте пирамиды на расстоянии $x$ от центра большего основания. Тогда расстояние от центра шара до плоскости меньшего основания будет $(h - x)$.

Так как все вершины пирамиды лежат на сфере, расстояние от центра шара до любой вершины большего основания и до любой вершины меньшего основания равно радиусу шара $R$.

Для вершины большего основания (рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами $R_2$ и $x$):$R^2 = R_2^2 + x^2$

Для вершины меньшего основания (рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами $R_1$ и $h-x$):$R^2 = R_1^2 + (h - x)^2$

Приравняем правые части уравнений:$R_2^2 + x^2 = R_1^2 + (h - x)^2$$R_2^2 + x^2 = R_1^2 + h^2 - 2hx + x^2$$R_2^2 = R_1^2 + h^2 - 2hx$

Выразим $x$:$2hx = R_1^2 + h^2 - R_2^2$$x = \frac{R_1^2 + h^2 - R_2^2}{2h}$

Подставим числовые значения:$x = \frac{2^2 + 52 - 6^2}{2 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{4 + 52 - 36}{4\sqrt{13}} = \frac{20}{4\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$

Теперь найдем $R^2$, используя первое уравнение $R^2 = R_2^2 + x^2$:$R^2 = 6^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{13}}\right)^2 = 36 + \frac{25}{13}$$R^2 = \frac{36 \cdot 13 + 25}{13} = \frac{468 + 25}{13} = \frac{493}{13}$

Тогда радиус шара $R$ равен:$R = \sqrt{\frac{493}{13}}$ см.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{493}{13}}$ см.

206. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную призму, сторона основания которой равна 6 см.

206. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную призму, сторона основания которой равна 6 см.

Пусть $r$ — это радиус шара, вписанного в правильную треугольную призму, а $a$ — это сторона ее основания. По условию, $a = 6$ см.

Для того чтобы шар можно было вписать в призму, он должен касаться всех ее граней: двух оснований и трех боковых граней.

Центр вписанного шара будет равноудален от всех граней призмы. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара $r$. Поскольку шар касается обоих оснований, его центр находится на равном расстоянии от них, а высота призмы $H$ равна диаметру шара: $H = 2r$.

Проекция центра шара на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, лежащий в основании. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу вписанного шара.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Подставим в формулу значение стороны основания $a = 6$ см:$r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Следовательно, радиус шара, вписанного в данную правильную треугольную призму, равен $\sqrt{3}$ см.
Ответ: $\sqrt{3}$ см.

207. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 26 см, 28 см и 30 см. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

207. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 26 см, 28 см и 30 см. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

Пусть $R$ — радиус шара, вписанного в прямую призму. Для того чтобы шар можно было вписать в прямую призму, он должен касаться её верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней.

Из условия касания шаром боковых граней следует, что его центр равноудален от них. Это означает, что проекция центра шара на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник основания. Радиус шара $R$ при этом равен радиусу $r$ этой вписанной окружности.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в треугольник, который является основанием призмы. Стороны этого треугольника равны $a = 26$ см, $b = 28$ см и $c = 30$ см.

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычисление полупериметра треугольника ($p$)
Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон.
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+28+30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

2. Вычисление площади треугольника ($S$)
Так как известны все три стороны, для нахождения площади воспользуемся формулой Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Подставим известные значения:
$S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12}$
Разложим числа под корнем на множители для упрощения вычисления:
$S = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6)} = \sqrt{6^2 \cdot 7^2 \cdot 16 \cdot 4} = \sqrt{6^2 \cdot 7^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2}$
Извлекаем квадратный корень:
$S = 6 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 2 = 336$ см$^2$.

3. Вычисление радиуса вписанного шара ($R$)
Теперь, зная площадь и полупериметр, находим радиус вписанной окружности $r$, который равен искомому радиусу шара $R$.
$R = r = \frac{S}{p} = \frac{336}{42} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь основания призмы, если площадь её боковой поверхности равна 48 $\text{см}^2$.

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь основания призмы, если площадь её боковой поверхности равна $48 \text{ см}^2$.

Пусть $R$ — радиус вписанного шара, $H$ — высота прямой призмы, $P_{осн}$ — периметр основания, $r$ — радиус окружности, вписанной в основание, и $S_{осн}$ — площадь основания.

Поскольку шар вписан в прямую призму, он касается ее верхнего и нижнего оснований. Это означает, что высота призмы $H$ равна диаметру шара: $H = 2R$.Шар также касается всех боковых граней призмы. Из этого следует, что в основание призмы можно вписать окружность, радиус которой $r$ равен радиусу шара: $r = R$.Таким образом, высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в ее основание: $H = 2r$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.Используя соотношение $H = 2r$ и данное по условию значение $S_{бок} = 48 \text{ см}^2$, получаем:$P_{осн} \cdot (2r) = 48$.

Отсюда находим произведение периметра основания на радиус вписанной окружности:$P_{осн} \cdot r = \frac{48}{2} = 24$.

Площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:$S_{осн} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot r$.

Подставив ранее найденное значение $P_{осн} \cdot r = 24$, находим искомую площадь основания призмы:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

209. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, острый угол которой равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $4\sqrt{3}$ см.

209. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, острый угол которой равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Так как в прямую призму вписан шар, то выполняются два условия:
1. Высота призмы $H$ равна диаметру шара.
2. В основание призмы (в данном случае, в прямоугольную трапецию) можно вписать окружность, радиус которой $r$ равен радиусу шара $R$.

По условию, радиус вписанного шара $R = 4\sqrt{3}$ см.
Тогда высота призмы $H = 2R = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, также равен $r = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим основание призмы — прямоугольную трапецию $ABCD$, где $\angle A = \angle D = 90^\circ$, а острый угол $\angle C = 60^\circ$. Высота этой трапеции равна ее боковой стороне $AD$. Также высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности.
Следовательно, $AD = 2r = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $CD$. Получим прямоугольник $ABKD$ и прямоугольный треугольник $BKC$. В треугольнике $BKC$ катет $BK$ равен высоте трапеции $AD$, т.е. $BK = 8\sqrt{3}$ см, и $\angle C = 60^\circ$.
Найдем гипотенузу $BC$ (вторую боковую сторону трапеции):
$\sin(\angle C) = \frac{BK}{BC} \implies BC = \frac{BK}{\sin(60^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 16$ см.

Для любого описанного четырехугольника (в том числе для нашей трапеции) суммы длин противоположных сторон равны:
$AB + CD = AD + BC$
Подставим известные значения:
$AB + CD = 8\sqrt{3} + 16$ см.

Теперь найдем периметр основания:
$P_{осн} = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD) = (8\sqrt{3} + 16) + (16 + 8\sqrt{3}) = 32 + 16\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (32 + 16\sqrt{3}) \cdot 8\sqrt{3} = 32 \cdot 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 256\sqrt{3} + 128 \cdot 3 = 384 + 256\sqrt{3}$ см².

Ответ: $384 + 256\sqrt{3}$ см².

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, если радиус окружности, описанной около её основания, равен $m$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную ше- стиугольную пирамиду, если радиус окружности, описанной около её основания, равен $m$, а двугран- ный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида. В ее основании лежит правильный шестиугольник. Обозначим сторону основания как $a$. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, $R=a$. По условию $R=m$, следовательно, сторона основания $a=m$.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса шара $r$ рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее высоту $SO$ и апофему основания $OK$. Апофема $OK$ является радиусом окружности, вписанной в основание, $OK = r_{осн}$.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r_{осн}$ связан со стороной $a$ соотношением:$r_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Подставив $a=m$, получаем:$r_{осн} = \frac{m\sqrt{3}}{2}$.

Сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOK$, где $SO$ — высота пирамиды, $OK=r_{осн}$ — апофема основания, а $SK$ — апофема боковой грани. Угол $\angle SKO$ — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, по условию $\angle SKO = \beta$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$ и равноудален от плоскости основания и боковых граней. Расстояние от точки $I$ до плоскости основания (прямой $OK$ в нашем сечении) равно радиусу шара $r$, то есть $IO=r$. Так как точка $I$ равноудалена от сторон угла $\angle SKO$, она лежит на его биссектрисе $KI$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOK$. В нем катет $IO=r$, катет $OK=r_{осн}$, а угол $\angle OKI$ равен половине двугранного угла $\beta$: $\angle OKI = \frac{\beta}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle OKI) = \frac{IO}{OK}$

Подставим известные величины:$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выразим радиус вписанного шара $r$:$r = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$

Подставив ранее найденное значение для $r_{осн}$, окончательно получаем:$r = \frac{m\sqrt{3}}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $ \frac{m\sqrt{3}}{2} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) $

211. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а радиус шара, вписанного в неё, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

211. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $α$, а ради- ус шара, вписанного в неё, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Основание ABC – равносторонний треугольник. Пусть O – центр основания (и центр вписанной и описанной окружностей), тогда SO – высота пирамиды.

Пусть M – середина ребра основания BC. Тогда SM – апофема пирамиды (высота боковой грани), а OM – радиус вписанной в основание окружности.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SOM. Это сечение перпендикулярно ребру основания BC. Треугольник SOM – прямоугольный ($\angle SOM = 90^\circ$).

Двугранный угол при ребре основания BC равен линейному углу $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

В пирамиду вписан шар радиуса $r$. Центр шара, точка I, лежит на высоте пирамиды SO. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара, то есть $IO = r$.

Центр вписанного шара равноудален от всех граней пирамиды. Это означает, что точка I лежит на биссектрисе двугранного угла $\alpha$. Следовательно, IM – биссектриса угла $\angle SMO$, и $\angle IMO = \alpha/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник IOM ($\angle O = 90^\circ$). В нем:$\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$$\tan(\alpha/2) = \frac{r}{OM}$

Отсюда выразим OM:$OM = \frac{r}{\tan(\alpha/2)} = r \cot(\alpha/2)$

OM является радиусом окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC. Если сторона этого треугольника равна $a$, то $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Приравняем два выражения для OM, чтобы найти сторону основания $a$:$\frac{a}{2\sqrt{3}} = r \cot(\alpha/2)$$a = 2\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)$

Теперь найдем апофему пирамиды $SM$. Из прямоугольного треугольника SOM:$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM}$

Отсюда выразим апофему $SM$:$SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{r \cot(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема.

Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot (2\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)) = 6\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)$.

Апофема $h_a = SM = \frac{r \cot(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$.

Подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)) \cdot \left(\frac{r \cot(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}\right)$

Упростив выражение, получим:$S_{бок} = 3\sqrt{3} r^2 \frac{\cot^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{3\sqrt{3} r^2 \cot^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$

212. Сторона основания и апофема правильной четырёхугольной пирамиды равны $6\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

212. Сторона основания и апофема правильной четырёхугольной пирамиды равны $6\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды, а $l$ — её апофема (высота боковой грани). Согласно условию, $a = 6\sqrt{3}$ см и $l = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду, можно найти, рассмотрев её осевое сечение, проходящее через вершину и середины двух противоположных сторон основания. Такое сечение представляет собой треугольник, основанием которого является отрезок, соединяющий середины противоположных сторон основания пирамиды (его длина равна стороне основания $a$), а боковыми сторонами являются апофемы $l$.

В данном случае мы получаем треугольник, у которого все три стороны равны $6\sqrt{3}$ см, то есть это равносторонний треугольник.

Центр вписанной в пирамиду сферы совпадает с центром окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, а искомый радиус $r$ равен радиусу этой окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности нам понадобится высота $H$ этого треугольника, которая также является высотой самой пирамиды. Высоту равностороннего треугольника со стороной $s$ можно найти по формуле:

$H = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

Подставив $s = 6\sqrt{3}$ см, получаем:

$H = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети его высоты:

$r = \frac{1}{3}H$

Подставим значение высоты $H=9$ см:

$r = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

Таким образом, радиус сферы, вписанной в данную пирамиду, равен 3 см.

Ответ: 3 см.

213. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите боковую сторону основания пирамиды.

213. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите боковую сторону основания пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB=BC=b$, а угол при основании $AC$ равен $\alpha$, т.е. $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в треугольник основания $ABC$. Высота пирамиды $SO = H$, а радиус вписанной в основание окружности $r_{осн} = OM$, где $M$ — основание апофемы $SM$ на стороне $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Угол $\angle SMO = \beta$ — это линейный угол двугранного угла при ребре $AC$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$H = SO = OM \cdot \tan(\beta) = r_{осн} \cdot \tan(\beta)$

Центр вписанного в пирамиду шара, точка $I$, лежит на высоте $SO$. Радиус шара $r$ — это расстояние от точки $I$ до всех граней пирамиды. Таким образом, расстояние от $I$ до плоскости основания равно $r$, то есть $IO=r$. Расстояние от $I$ до боковой грани $SAC$ также равно $r$. Это расстояние равно длине перпендикуляра $IP$, опущенного из точки $I$ на апофему $SM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SIP$, где $P$ — проекция $I$ на $SM$. В нем $IP=r$, а гипотенуза $SI = SO - IO = H-r$. Угол $\angle IS P$ равен углу $\angle OSM$, который в свою очередь равен $90^\circ - \beta$. Тогда:

$\sin(\angle ISP) = \frac{IP}{SI} \implies \sin(90^\circ - \beta) = \frac{r}{H-r} \implies \cos(\beta) = \frac{r}{H-r}$

Из этого соотношения выразим высоту пирамиды $H$:

$H-r = \frac{r}{\cos(\beta)} \implies H = r + \frac{r}{\cos(\beta)} = r \frac{1+\cos(\beta)}{\cos(\beta)}$

Теперь приравняем два полученных выражения для высоты $H$:

$r_{осн} \cdot \tan(\beta) = r \frac{1+\cos(\beta)}{\cos(\beta)}$

$r_{осн} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = r \frac{1+\cos(\beta)}{\cos(\beta)}$

$r_{осн} = r \frac{1+\cos(\beta)}{\sin(\beta)}$

Используя формулы половинного угла $1+\cos(\beta) = 2\cos^2(\frac{\beta}{2})$ и $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$, получаем:

$r_{осн} = r \frac{2\cos^2(\frac{\beta}{2})}{2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})} = r \cot(\frac{\beta}{2})$

Теперь найдем боковую сторону $b$ основания. Для треугольника $ABC$ радиус вписанной окружности $r_{осн}$ выражается через его площадь $S_{ABC}$ и полупериметр $p$: $S_{ABC} = p \cdot r_{осн}$.

Выразим площадь и полупериметр через $b$ и $\alpha$:

Основание $AC = 2 \cdot (b \cos(\alpha))$.

Полупериметр $p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{b+b+2b\cos(\alpha)}{2} = b(1+\cos(\alpha))$.

Высота $BM = b \sin(\alpha)$.

Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} (2b\cos(\alpha))(b\sin(\alpha)) = b^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Теперь из формулы $r_{осн} = S_{ABC}/p$ выразим $b$:

$r_{осн} = \frac{b^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{b(1+\cos(\alpha))} = \frac{b\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$

$b = r_{осн} \frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Подставим ранее найденное выражение для $r_{осн}$:

$b = r \cot(\frac{\beta}{2}) \frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Упростим выражение, используя формулы половинного угла для $\alpha$: $\frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Окончательно получаем:

$b = r \cot(\frac{\beta}{2}) \frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$

Ответ: Боковая сторона основания пирамиды равна $r \cot(\frac{\beta}{2}) \frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$.

214. В правильную треугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

214. В правильную треугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида, в которую вписан шар радиуса $R$.Высота такой усеченной пирамиды $H$ равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2R$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры большего и меньшего оснований соответственно, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).Так как основания — правильные треугольники со сторонами $a_1$ и $a_2$, то $P_1 = 3a_1$ и $P_2 = 3a_2$.Формула принимает вид: $S_{бок} = \frac{3}{2}(a_1 + a_2) \cdot h_a$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$ (большой круг вписанного шара).Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H = 2R$. Боковые стороны трапеции равны апофеме пирамиды $h_a$. Основания трапеции равны удвоенным радиусам вписанных в основания пирамиды окружностей: $2r_1$ и $2r_2$.

Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем осевом сечении это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, ее боковой стороной $h_a$ и отрезком на большем основании, равным $r_1 - r_2$. Угол в этом треугольнике, противолежащий высоте $H$, равен $60°$.Из этого треугольника находим апофему $h_a$:$\sin(60°) = \frac{H}{h_a}$$h_a = \frac{H}{\sin(60°)} = \frac{2R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$2r_1 + 2r_2 = h_a + h_a = 2h_a$$r_1 + r_2 = h_a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.Следовательно, $a_1 = 2\sqrt{3}r_1$ и $a_2 = 2\sqrt{3}r_2$.Тогда сумма сторон оснований:$a_1 + a_2 = 2\sqrt{3}r_1 + 2\sqrt{3}r_2 = 2\sqrt{3}(r_1 + r_2)$Подставим найденное значение $r_1 + r_2$:$a_1 + a_2 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = 8R$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = \frac{3}{2}(a_1 + a_2) \cdot h_a$Подставляем значения для $(a_1 + a_2)$ и $h_a$:$S_{бок} = \frac{3}{2}(8R) \cdot \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right) = 12R \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{48R^2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:$S_{бок} = \frac{48R^2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}R^2}{3} = 16\sqrt{3}R^2$

Ответ: $16\sqrt{3}R^2$.