Номер 209, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, острый угол которой равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $4\sqrt{3}$ см.

209. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, острый угол которой равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Так как в прямую призму вписан шар, то выполняются два условия:
1. Высота призмы $H$ равна диаметру шара.
2. В основание призмы (в данном случае, в прямоугольную трапецию) можно вписать окружность, радиус которой $r$ равен радиусу шара $R$.

По условию, радиус вписанного шара $R = 4\sqrt{3}$ см.
Тогда высота призмы $H = 2R = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, также равен $r = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим основание призмы — прямоугольную трапецию $ABCD$, где $\angle A = \angle D = 90^\circ$, а острый угол $\angle C = 60^\circ$. Высота этой трапеции равна ее боковой стороне $AD$. Также высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности.
Следовательно, $AD = 2r = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $CD$. Получим прямоугольник $ABKD$ и прямоугольный треугольник $BKC$. В треугольнике $BKC$ катет $BK$ равен высоте трапеции $AD$, т.е. $BK = 8\sqrt{3}$ см, и $\angle C = 60^\circ$.
Найдем гипотенузу $BC$ (вторую боковую сторону трапеции):
$\sin(\angle C) = \frac{BK}{BC} \implies BC = \frac{BK}{\sin(60^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 16$ см.

Для любого описанного четырехугольника (в том числе для нашей трапеции) суммы длин противоположных сторон равны:
$AB + CD = AD + BC$
Подставим известные значения:
$AB + CD = 8\sqrt{3} + 16$ см.

Теперь найдем периметр основания:
$P_{осн} = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD) = (8\sqrt{3} + 16) + (16 + 8\sqrt{3}) = 32 + 16\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (32 + 16\sqrt{3}) \cdot 8\sqrt{3} = 32 \cdot 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 256\sqrt{3} + 128 \cdot 3 = 384 + 256\sqrt{3}$ см².

Ответ: $384 + 256\sqrt{3}$ см².