Номер 211, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а радиус шара, вписанного в неё, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

211. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $α$, а ради- ус шара, вписанного в неё, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Основание ABC – равносторонний треугольник. Пусть O – центр основания (и центр вписанной и описанной окружностей), тогда SO – высота пирамиды.

Пусть M – середина ребра основания BC. Тогда SM – апофема пирамиды (высота боковой грани), а OM – радиус вписанной в основание окружности.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SOM. Это сечение перпендикулярно ребру основания BC. Треугольник SOM – прямоугольный ($\angle SOM = 90^\circ$).

Двугранный угол при ребре основания BC равен линейному углу $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

В пирамиду вписан шар радиуса $r$. Центр шара, точка I, лежит на высоте пирамиды SO. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара, то есть $IO = r$.

Центр вписанного шара равноудален от всех граней пирамиды. Это означает, что точка I лежит на биссектрисе двугранного угла $\alpha$. Следовательно, IM – биссектриса угла $\angle SMO$, и $\angle IMO = \alpha/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник IOM ($\angle O = 90^\circ$). В нем:$\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$$\tan(\alpha/2) = \frac{r}{OM}$

Отсюда выразим OM:$OM = \frac{r}{\tan(\alpha/2)} = r \cot(\alpha/2)$

OM является радиусом окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC. Если сторона этого треугольника равна $a$, то $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Приравняем два выражения для OM, чтобы найти сторону основания $a$:$\frac{a}{2\sqrt{3}} = r \cot(\alpha/2)$$a = 2\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)$

Теперь найдем апофему пирамиды $SM$. Из прямоугольного треугольника SOM:$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM}$

Отсюда выразим апофему $SM$:$SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{r \cot(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема.

Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot (2\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)) = 6\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)$.

Апофема $h_a = SM = \frac{r \cot(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$.

Подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3} r \cot(\alpha/2)) \cdot \left(\frac{r \cot(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}\right)$

Упростив выражение, получим:$S_{бок} = 3\sqrt{3} r^2 \frac{\cot^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{3\sqrt{3} r^2 \cot^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}$