Номер 218, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см.

Найдите радиус шара, описанного около конуса.

218. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см.

Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Обозначим образующую конуса как $l$, его высоту как $h$, радиус основания как $r$, и радиус описанного шара как $R$. По условию задачи дано: $l = 15$ см $h = 12$ см

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Сечением является равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Стороны этого треугольника равны двум образующим $l$ и диаметру основания конуса $2r$. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, и будет радиусом описанного шара $R$.

1. Найдем радиус основания конуса $r$. Высота $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$ Отсюда выразим $r^2$: $r^2 = l^2 - h^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$ $r = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Найдем радиус описанного шара $R$. Существует несколько способов. Воспользуемся формулой, связывающей радиус описанной окружности $R$ со сторонами треугольника ($a, b, c$) и его площадью $S$: $R = \frac{abc}{4S}$ Стороны нашего равнобедренного треугольника равны $a = l = 15$ см, $b = l = 15$ см, $c = 2r = 2 \cdot 9 = 18$ см. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$ $S = 9 \cdot 12 = 108$ см$^2$. Теперь подставим все значения в формулу для радиуса: $R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 18}{4 \cdot 108} = \frac{225 \cdot 18}{432} = \frac{4050}{432}$ Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 54: $4050 \div 54 = 75$ $432 \div 54 = 8$ $R = \frac{75}{8} = 9,375$ см.

Альтернативный способ: Можно использовать формулу, которая напрямую связывает радиус описанного шара с высотой и образующей конуса: $R = \frac{l^2}{2h}$. Подставим наши значения: $R = \frac{15^2}{2 \cdot 12} = \frac{225}{24}$ Сократим дробь на 3: $R = \frac{75}{8} = 9,375$ см.

Ответ: 9,375 см.