Номер 220, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар. Расстояние от центра шара до центра основания конуса равно $a$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар. Расстояние от центра шара до центра основания конуса равно $a$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, его образующую как $l$, а высоту как $H$. Площадь боковой поверхности конуса, которую необходимо найти, вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Пусть вершина конуса — точка $A$, а диаметр основания — отрезок $BC$. Тогда осевое сечение — это треугольник $ABC$. Высота конуса $H$ является высотой $AD$ этого треугольника, опущенной на основание $BC$. Центр основания конуса — точка $D$.

В прямоугольном треугольнике $ADB$, где $AD=H$, $BD=r$ и $AB=l$, угол между образующей и высотой по условию равен $\alpha$, то есть $\angle DAB = \alpha$. Из этого треугольника можно выразить $r$ и $H$ через $l$ и $\alpha$:
$r = l \sin(\alpha)$
$H = l \cos(\alpha)$

Описанная около конуса сфера также является описанной и для его осевого сечения. Центр сферы $O$ — это центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его центр описанной окружности лежит на высоте (и оси симметрии) $AD$.

По условию, осевое сечение — остроугольный треугольник. Это означает, что центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника, то есть на отрезке $AD$.

Расстояние от центра сферы $O$ до центра основания конуса $D$ дано и равно $a$, то есть $OD=a$.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Так как точки $A$ и $B$ лежат на сфере, их расстояние до центра сферы $O$ равно $R$. Таким образом, $OA = R$ и $OB = R$.

Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AD$, мы можем записать высоту конуса как сумму отрезков: $H = AD = AO + OD$. Подставляя известные значения, получаем: $H = R + a$.

Приравняв два выражения для $H$, имеем: $l \cos(\alpha) = R + a$ (1)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ODB$. Его катеты — это $OD = a$ и $DB = r$, а гипотенуза — $OB = R$. По теореме Пифагора: $R^2 = OD^2 + DB^2 \Rightarrow R^2 = a^2 + r^2$ (2)

Мы получили систему уравнений для нахождения $l$ и $r$. Из уравнения (1) выразим $R$: $R = l \cos(\alpha) - a$. Подставим это выражение, а также выражение $r = l \sin(\alpha)$, в уравнение (2):
$(l \cos(\alpha) - a)^2 = a^2 + (l \sin(\alpha))^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $l$:
$l^2 \cos^2(\alpha) - 2al \cos(\alpha) + a^2 = a^2 + l^2 \sin^2(\alpha)$
$l^2 \cos^2(\alpha) - l^2 \sin^2(\alpha) - 2al \cos(\alpha) = 0$
$l^2 (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = 2al \cos(\alpha)$

Поскольку $l \neq 0$, разделим обе части на $l$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$:
$l \cos(2\alpha) = 2a \cos(\alpha)$
Отсюда находим образующую $l$:
$l = \frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Теперь найдем радиус основания $r$, используя $r = l \sin(\alpha)$:
$r = \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right) \sin(\alpha) = \frac{2a \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$:
$r = \frac{a \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = a \tan(2\alpha)$

Наконец, подставляем найденные выражения для $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot (a \tan(2\alpha)) \cdot \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right)$
$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\pi a^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{2\pi a^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$