Номер 214, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. В правильную треугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

214. В правильную треугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида, в которую вписан шар радиуса $R$.Высота такой усеченной пирамиды $H$ равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2R$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры большего и меньшего оснований соответственно, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).Так как основания — правильные треугольники со сторонами $a_1$ и $a_2$, то $P_1 = 3a_1$ и $P_2 = 3a_2$.Формула принимает вид: $S_{бок} = \frac{3}{2}(a_1 + a_2) \cdot h_a$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$ (большой круг вписанного шара).Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H = 2R$. Боковые стороны трапеции равны апофеме пирамиды $h_a$. Основания трапеции равны удвоенным радиусам вписанных в основания пирамиды окружностей: $2r_1$ и $2r_2$.

Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем осевом сечении это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, ее боковой стороной $h_a$ и отрезком на большем основании, равным $r_1 - r_2$. Угол в этом треугольнике, противолежащий высоте $H$, равен $60°$.Из этого треугольника находим апофему $h_a$:$\sin(60°) = \frac{H}{h_a}$$h_a = \frac{H}{\sin(60°)} = \frac{2R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$2r_1 + 2r_2 = h_a + h_a = 2h_a$$r_1 + r_2 = h_a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.Следовательно, $a_1 = 2\sqrt{3}r_1$ и $a_2 = 2\sqrt{3}r_2$.Тогда сумма сторон оснований:$a_1 + a_2 = 2\sqrt{3}r_1 + 2\sqrt{3}r_2 = 2\sqrt{3}(r_1 + r_2)$Подставим найденное значение $r_1 + r_2$:$a_1 + a_2 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = 8R$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = \frac{3}{2}(a_1 + a_2) \cdot h_a$Подставляем значения для $(a_1 + a_2)$ и $h_a$:$S_{бок} = \frac{3}{2}(8R) \cdot \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right) = 12R \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{48R^2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:$S_{бок} = \frac{48R^2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}R^2}{3} = 16\sqrt{3}R^2$

Ответ: $16\sqrt{3}R^2$.