Номер 212, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Сторона основания и апофема правильной четырёхугольной пирамиды равны $6\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

212. Сторона основания и апофема правильной четырёхугольной пирамиды равны $6\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды, а $l$ — её апофема (высота боковой грани). Согласно условию, $a = 6\sqrt{3}$ см и $l = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду, можно найти, рассмотрев её осевое сечение, проходящее через вершину и середины двух противоположных сторон основания. Такое сечение представляет собой треугольник, основанием которого является отрезок, соединяющий середины противоположных сторон основания пирамиды (его длина равна стороне основания $a$), а боковыми сторонами являются апофемы $l$.

В данном случае мы получаем треугольник, у которого все три стороны равны $6\sqrt{3}$ см, то есть это равносторонний треугольник.

Центр вписанной в пирамиду сферы совпадает с центром окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, а искомый радиус $r$ равен радиусу этой окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности нам понадобится высота $H$ этого треугольника, которая также является высотой самой пирамиды. Высоту равностороннего треугольника со стороной $s$ можно найти по формуле:

$H = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

Подставив $s = 6\sqrt{3}$ см, получаем:

$H = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети его высоты:

$r = \frac{1}{3}H$

Подставим значение высоты $H=9$ см:

$r = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

Таким образом, радиус сферы, вписанной в данную пирамиду, равен 3 см.

Ответ: 3 см.