Номер 210, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, если радиус окружности, описанной около её основания, равен $m$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную ше- стиугольную пирамиду, если радиус окружности, описанной около её основания, равен $m$, а двугран- ный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида. В ее основании лежит правильный шестиугольник. Обозначим сторону основания как $a$. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, $R=a$. По условию $R=m$, следовательно, сторона основания $a=m$.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса шара $r$ рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее высоту $SO$ и апофему основания $OK$. Апофема $OK$ является радиусом окружности, вписанной в основание, $OK = r_{осн}$.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r_{осн}$ связан со стороной $a$ соотношением:$r_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Подставив $a=m$, получаем:$r_{осн} = \frac{m\sqrt{3}}{2}$.

Сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOK$, где $SO$ — высота пирамиды, $OK=r_{осн}$ — апофема основания, а $SK$ — апофема боковой грани. Угол $\angle SKO$ — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, по условию $\angle SKO = \beta$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$ и равноудален от плоскости основания и боковых граней. Расстояние от точки $I$ до плоскости основания (прямой $OK$ в нашем сечении) равно радиусу шара $r$, то есть $IO=r$. Так как точка $I$ равноудалена от сторон угла $\angle SKO$, она лежит на его биссектрисе $KI$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOK$. В нем катет $IO=r$, катет $OK=r_{осн}$, а угол $\angle OKI$ равен половине двугранного угла $\beta$: $\angle OKI = \frac{\beta}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle OKI) = \frac{IO}{OK}$

Подставим известные величины:$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выразим радиус вписанного шара $r$:$r = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$

Подставив ранее найденное значение для $r_{осн}$, окончательно получаем:$r = \frac{m\sqrt{3}}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $ \frac{m\sqrt{3}}{2} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) $