Номер 216, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. В шар, радиус которого равен 6,5 см, вписан цилиндр, радиус основания которого равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

216. В шар, радиус которого равен 6,5 см, вписан цилиндр, радиус основания которого равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус основания и высоту вписанного цилиндра как $r$ и $h$ соответственно.

Из условия задачи нам известно:
Радиус шара $R = 6,5$ см.
Радиус основания цилиндра $r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Для вычисления площади нам необходимо найти высоту цилиндра $h$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в большой круг (сечение шара).
Радиус этого круга равен радиусу шара $R$. Стороны прямоугольника равны диаметру основания цилиндра $2r$ и его высоте $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус шара $R$, а катетами — радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти $h$:
$(6,5)^2 = 6^2 + (\frac{h}{2})^2$
$42,25 = 36 + (\frac{h}{2})^2$

Теперь найдем значение $(\frac{h}{2})^2$:
$(\frac{h}{2})^2 = 42,25 - 36$
$(\frac{h}{2})^2 = 6,25$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину высоты:
$\frac{h}{2} = \sqrt{6,25}$
$\frac{h}{2} = 2,5$ см

Следовательно, полная высота цилиндра равна:
$h = 2 \times 2,5 = 5$ см

Теперь, зная высоту цилиндра, мы можем вычислить площадь его боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \times 6 \times 5 = 60\pi$ см$^2$

Ответ: $60\pi$ см$^2$.