Номер 222, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 12 см.

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 12 см.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция. Обозначим её вершины $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, являющиеся диаметрами оснований конуса. Пусть $R$ — радиус нижнего (большего) основания, тогда $AD = 2R$. Пусть $r$ — радиус верхнего (меньшего) основания, тогда $BC = 2r$. $CD$ — образующая конуса, её длина равна $l$. $AC$ — диагональ осевого сечения.

1. Анализ геометрии осевого сечения

По условию задачи, диагональ осевого сечения перпендикулярна его образующей. Это означает, что в трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. Таким образом, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.

Угол между диагональю $AC$ и плоскостью основания усечённого конуса — это угол между отрезком $AC$ и его проекцией на эту плоскость. Поскольку $AD$ лежит в плоскости основания, этот угол равен $\angle CAD$. По условию, $\angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Сумма острых углов в нём равна $90^\circ$, поэтому угол $\angle ADC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Этот угол является углом наклона образующей конуса к плоскости его большего основания.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ACD$ мы можем выразить его стороны друг через друга:
$CD = AD \cdot \cos(\angle ADC) \implies l = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Итак, длина образующей равна радиусу большего основания.

Проведём высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $KD$ равен полуразности оснований: $KD = \frac{AD-BC}{2} = \frac{2R-2r}{2} = R-r$.
В прямоугольном треугольнике $CKD$ имеем: $KD = CD \cdot \cos(\angle CDK) = l \cdot \cos(60^\circ) = l \cdot \frac{1}{2}$.
Приравнивая выражения для $KD$, получаем: $R-r = \frac{l}{2}$.
Так как мы уже нашли, что $l=R$, подставим это в равенство: $R-r = \frac{R}{2}$, откуда $r = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.
Таким образом, радиус меньшего основания в два раза меньше радиуса большего основания.

Ответ: Установлены соотношения между параметрами конуса: $l=R$ и $r=\frac{R}{2}$.

2. Использование радиуса описанной сферы

Если шар описан около усечённого конуса, то окружности его оснований лежат на поверхности этого шара. Следовательно, осевое сечение (трапеция $ABCD$) вписано в большой круг шара, радиус которого равен радиусу шара $R_{сферы} = 12$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ACD$. Применим теорему синусов к треугольнику $ACD$:
$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = 2R_{сферы}$
Подставим известные нам значения: $AD=2R$, $\angle ACD = 90^\circ$, $R_{сферы} = 12$ см.
$\frac{2R}{\sin(90^\circ)} = 2 \cdot 12$
$\frac{2R}{1} = 24$
$R = 12$ см.

Теперь, зная $R$, найдём остальные параметры конуса, используя соотношения, полученные в первом пункте:
Образующая $l = R = 12$ см.
Радиус меньшего основания $r = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: Радиус большего основания $R=12$ см, радиус меньшего основания $r=6$ см, образующая $l=12$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставим найденные значения $R=12$ см, $r=6$ см и $l=12$ см в формулу:
$S_{бок} = \pi(12+6) \cdot 12 = \pi \cdot 18 \cdot 12 = 216\pi$ см².

Ответ: $216\pi$ см².