Номер 228, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

228. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть его основание равно $2R$ (диаметр основания конуса), а высота равна $H$ (высота конуса). Площадь этого треугольника (осевого сечения) $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания конуса — это угол при основании равнобедренного треугольника осевого сечения. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей, эти величины связаны соотношением:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Отсюда можно выразить высоту: $H = R \tan(\alpha)$.

В осевом сечении вписанный в конус шар является кругом, вписанным в равнобедренный треугольник. Радиус этого круга равен радиусу шара $r$. Центр вписанного круга лежит на высоте треугольника (оси конуса) и является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, отрезком высоты от основания до центра вписанного шара (равным $r$) и биссектрисой угла $\alpha$. Угол в этом треугольнике, прилежащий к катету $R$, будет равен $\frac{\alpha}{2}$. Таким образом, мы можем записать:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{R}$

Из этого соотношения выразим радиус основания конуса $R$ через радиус вписанного шара $r$ и угол $\alpha$:

$R = \frac{r}{\tan(\alpha/2)} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь, зная $R$, мы можем найти высоту конуса $H$:

$H = R \tan(\alpha) = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

Наконец, подставим найденные выражения для $R$ и $H$ в формулу для площади осевого сечения:

$S = R \cdot H = \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)\right)$

$S = r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

Ответ: $r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$