Номер 231, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 6 см, а диаметр одного из оснований усечённого кону- са на 10 см больше диаметра другого основания. Най- дите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 6 см, а диаметр одного из оснований усечённого конуса на 10 см больше диаметра другого основания. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Обозначим радиус вписанного шара как $r$, радиусы оснований усечённого конуса как $R_1$ и $R_2$ (где $R_1$ – радиус большего основания), образующую – как $l$, а высоту – как $H$.

По условию, радиус вписанного шара $r = 6$ см. Для усечённого конуса, в который вписан шар, высота конуса равна диаметру шара: $H = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Также по условию, диаметр одного основания на 10 см больше диаметра другого. Запишем это через радиусы: $D_1 - D_2 = 10$ см $2R_1 - 2R_2 = 10$ см $R_1 - R_2 = 5$ см.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность (сечение шара). Проведём в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Мы получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $H$ и разность радиусов $R_1 - R_2$, а гипотенузой – образующая $l$.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$ Подставим известные значения: $l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $l = \sqrt{169} = 13$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l$

Ключевым свойством усечённого конуса, в который можно вписать шар, является то, что сумма радиусов его оснований равна его образующей. Это следует из свойства описанной около окружности равнобокой трапеции (осевого сечения), у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон: $2R_1 + 2R_2 = l + l$ $2(R_1 + R_2) = 2l$ $R_1 + R_2 = l$

Так как мы нашли, что $l = 13$ см, то и $R_1 + R_2 = 13$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \pi \cdot (R_1 + R_2) \cdot l = \pi \cdot 13 \cdot 13 = 169\pi$ см².

Ответ: $169\pi$ см².