Номер 230, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

230. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, в который вписан шар. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (сечение шара). Пусть $R$ и $r$ — радиусы оснований усечённого конуса, $l$ — его образующая, а $r_{ш}$ — радиус вписанного шара. По условию $R = 9$ см, $r = 4$ см.

Найти образующую усечённого конуса

Основаниями равнобокой трапеции являются диаметры оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей $l$. Так как в трапецию вписана окружность, она является описанным четырёхугольником. Основное свойство описанного четырёхугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон: $2R + 2r = l + l$ $2(R+r) = 2l$ Отсюда получаем формулу для образующей: $l = R+r$ Подставим заданные значения радиусов: $l = 9 + 4 = 13$ см.
Ответ: образующая усечённого конуса равна 13 см.

Найти радиус шара

Высота усечённого конуса $h$ равна высоте трапеции, а также диаметру вписанного шара, то есть $h = 2r_{ш}$. Для нахождения высоты $h$ проведём её из вершины меньшего основания к большему. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, одним катетом — высота $h$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности длин оснований трапеции, то есть $\frac{2R - 2r}{2} = R-r$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$ Мы уже установили, что $l = R+r$. Подставим это выражение в уравнение: $(R+r)^2 = h^2 + (R-r)^2$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $R^2 + 2Rr + r^2 = h^2 + R^2 - 2Rr + r^2$ Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения: $2Rr = h^2 - 2Rr$ $h^2 = 4Rr$ $h = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$ Так как высота конуса равна диаметру шара ($h = 2r_{ш}$), имеем: $2r_{ш} = 2\sqrt{Rr}$ $r_{ш} = \sqrt{Rr}$ Подставим значения $R=9$ см и $r=4$ см в полученную формулу: $r_{ш} = \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: радиус шара равен 6 см.