Номер 232, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если угол между его образующей и плоскостью большего основания равен $\beta$.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если угол между его образующей и плоскостью большего основания равен $\beta$.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Поскольку в конус вписан шар радиуса $R$, в его осевое сечение (трапецию) будет вписана окружность того же радиуса $R$. Эта окружность является большим кругом вписанного шара.

Высота $h$ равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Следовательно, высота осевого сечения равна:

$h = 2R$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции. Подставляя значение высоты $h$, получаем:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot 2R = (a+b)R$

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей равнобедренной трапеции, где боковые стороны (образующие конуса) равны $l$, это свойство выглядит так:

$a+b = l+l = 2l$

Теперь мы можем выразить площадь сечения через длину образующей $l$ и радиус $R$:

$S = 2lR$

По условию, угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\beta$. В осевом сечении это угол между боковой стороной $l$ и большим основанием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и проекцией образующей на большее основание. Угол, противолежащий катету $h$, равен $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\beta) = \frac{h}{l}$

Выразим отсюда образующую $l$:

$l = \frac{h}{\sin(\beta)}$

Так как $h = 2R$, получаем:

$l = \frac{2R}{\sin(\beta)}$

Наконец, подставим это выражение для $l$ в формулу площади сечения $S = 2lR$:

$S = 2 \cdot \left(\frac{2R}{\sin(\beta)}\right) \cdot R = \frac{4R^2}{\sin(\beta)}$

Ответ: $\frac{4R^2}{\sin(\beta)}$