Номер 238, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Основание прямой призмы — ромб с углом $45^\circ$. Диагональ боковой грани равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

238. Основание прямой призмы — ромб с углом 45°. Диагональ боковой грани равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём призмы.

Для нахождения объема прямой призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит ромб со стороной $a$ и острым углом $45^\circ$. Диагональ боковой грани, равная $d = 8$ см, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Поскольку призма прямая, ее боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основанию. Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру. Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона ромба $a$.

Таким образом, диагональ боковой грани ($d$), высота призмы ($h$) и сторона основания ($a$) образуют прямоугольный треугольник, в котором:

• $d$ — гипотенуза ($d = 8$ см);
• $h$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$;
• $a$ — катет, прилежащий к углу $30^\circ$.

Найдем высоту $h$ и сторону основания $a$, используя тригонометрические функции:

$h = d \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания. Основание — это ромб со стороной $a = 4\sqrt{3}$ см и углом $45^\circ$. Площадь ромба находится по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$:

$S_{осн} = (4\sqrt{3})^2 \cdot \sin(45^\circ) = (16 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}$ см$^2$.

Наконец, найдем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 24\sqrt{2} \cdot 4 = 96\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $96\sqrt{2}$ см$^3$.