Номер 237, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $a$ и $b$ — стороны основания, $h$ — боковое ребро (высота).
Из условия задачи имеем:
Одна из сторон основания $a = 6$ см.
Боковое ребро $h = 4$ см.
Угол между диагональю параллелепипеда $D$ и плоскостью основания равен $30^\circ$.

Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:
$V = a \cdot b \cdot h$
Чтобы найти объём, нам необходимо определить длину второй стороны основания, $b$.

Угол между наклонной (диагональю параллелепипеда $D$) и плоскостью (основанием) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали параллелепипеда $D$ на плоскость основания является диагональ основания $d$. Следовательно, диагональ параллелепипеда $D$, диагональ основания $d$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, в котором катетами являются $h$ и $d$, а гипотенузой — $D$. Угол между гипотенузой $D$ и катетом $d$ равен $30^\circ$.

Используя тангенс угла в этом прямоугольном треугольнике, найдем длину диагонали основания $d$:
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d}$
Выразим отсюда $d$:
$d = \frac{h}{\tan(30^\circ)}$
Подставим известные значения $h=4$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$d = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Основание параллелепипеда — это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ этого прямоугольника $d$ связана с его сторонами по теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения $a=6$ см и $d=4\sqrt{3}$ см, чтобы найти $b$:
$(4\sqrt{3})^2 = 6^2 + b^2$
$16 \cdot 3 = 36 + b^2$
$48 = 36 + b^2$
$b^2 = 48 - 36$
$b^2 = 12$
$b = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a=6$ см, $b=2\sqrt{3}$ см, $h=4$ см), мы можем вычислить его объём:
$V = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4$
$V = 12\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^3$.