Номер 243, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 5 см, а диаметр вписанной окружности — 3 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 5 см, а диаметр вписанной окружности — 3 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания призмы.

Основанием является равнобокая трапеция. По условию, в эту трапецию можно вписать окружность. Высота такой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, следовательно, $h = 3$ см.

Боковая сторона трапеции по условию равна $c = 5$ см.

Для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$. Тогда $a + b = c + c = 5 + 5 = 10$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Подставим известные значения: $S_{осн} = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ см$^2$.

2. Найдём высоту призмы.

Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $H$, диагональю основания $d$ (как проекцией диагонали призмы на основание) и самой диагональю призмы. В этом треугольнике катеты — $H$ и $d$.

Тангенс угла между диагональю призмы и основанием равен отношению высоты призмы к диагонали основания: $\tan(30^\circ) = \frac{H}{d}$, откуда $H = d \cdot \tan(30^\circ)$.

Чтобы найти $H$, необходимо сначала вычислить длину диагонали основания $d$.

Для этого в равнобокой трапеции проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота отсекает на большем основании отрезок $x$. Длину этого отрезка можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является боковая сторона $c=5$ см, а катетами — высота $h=3$ см и отрезок $x$.

$x = \sqrt{c^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Этот отрезок также равен полуразности оснований: $x = \frac{a-b}{2}$, следовательно, $a-b = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения длин оснований:

$\begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 8 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2a = 18$, откуда $a = 9$ см. Тогда $b = 10 - 9 = 1$ см.

Теперь найдём диагональ трапеции $d$. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота трапеции $h=3$ см и отрезок, равный $a-x = 9-4=5$ см. Гипотенузой этого треугольника является диагональ $d$. По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (a-x)^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Таким образом, $d = \sqrt{34}$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы:

$H = d \cdot \tan(30^\circ) = \sqrt{34} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3}}$ см.

3. Вычислим объём призмы.

$V = S_{осн} \cdot H = 15 \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{34}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$V = \frac{15\sqrt{34}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{102}}{3} = 5\sqrt{102}$ см$^3$.

Ответ: $5\sqrt{102}$ см$^3$.