Номер 246, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $AC_1$ равна $d$ и образует со стороной $AB$ угол $\alpha$. Плоскость, проходящая через точки $C$, $D$ и $B_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём параллелепипеда.

246. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $AC_1$ равна $d$ и образует со стороной $AB$ угол $\alpha$. Плоскость, проходящая через точки $C, D$ и $B_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = h$. Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abh$.

Рассмотрим диагональ параллелепипеда $AC_1 = d$ и ребро $AB = a$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой грани, в том числе $BC_1$. Следовательно, треугольник $ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. По условию, угол между диагональю $AC_1$ и стороной $AB$ равен $\alpha$, то есть $\angle C_1AB = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC_1$ находим катеты:$a = AB = AC_1 \cos \alpha = d \cos \alpha$$BC_1 = AC_1 \sin \alpha = d \sin \alpha$

Диагональ $BC_1$ принадлежит грани $BCC_1B_1$. В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ по теореме Пифагора $BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2$, что в наших обозначениях дает первое уравнение, связывающее $b$ и $h$:$b^2 + h^2 = (d \sin \alpha)^2 = d^2 \sin^2 \alpha$.

Теперь используем второе условие: плоскость, проходящая через точки $C$, $D$ и $B_1$, образует с плоскостью основания $(ABCD)$ угол $\beta$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки. В плоскости основания $AD \perp CD$. В секущей плоскости $(CDB_1)$ перпендикуляром к $CD$ будет $DA_1$, так как $CD \parallel AB$, а ребро $AB$ перпендикулярно всей грани $ADD_1A_1$ и, следовательно, прямой $DA_1$. Таким образом, искомый угол $\beta$ равен углу $\angle A_1DA$.

В прямоугольном треугольнике $A_1AD$ с катетами $AD = b$ и $AA_1 = h$, из определения тангенса угла $\angle A_1DA = \beta$ получаем второе уравнение:$\tan \beta = \frac{AA_1}{AD} = \frac{h}{b}$, откуда $h = b \tan \beta$.

Решим систему из двух полученных уравнений:$\begin{cases} b^2 + h^2 = d^2 \sin^2 \alpha \\ h = b \tan \beta \end{cases}$

Подставив второе уравнение в первое, получаем:$b^2 + (b \tan \beta)^2 = d^2 \sin^2 \alpha \implies b^2(1 + \tan^2 \beta) = d^2 \sin^2 \alpha$.Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 \beta = 1/\cos^2 \beta$, находим $b$:$b^2 / \cos^2 \beta = d^2 \sin^2 \alpha \implies b^2 = d^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \beta \implies b = d \sin \alpha \cos \beta$.

Теперь находим $h$:$h = b \tan \beta = (d \sin \alpha \cos \beta) \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = d \sin \alpha \sin \beta$.

Наконец, вычисляем объём параллелепипеда, перемножая его измерения:$V = a \cdot b \cdot h = (d \cos \alpha) \cdot (d \sin \alpha \cos \beta) \cdot (d \sin \alpha \sin \beta) = d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta$.Это выражение можно также записать в виде $V = \frac{1}{2} d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin(2\beta)$.

Ответ: $V = d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta$.