Номер 240, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $s$ и прилежащими к ней углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $s$ и прилежащими к ней углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Найдём эти величины поочерёдно.

Сначала найдём площадь основания $S_{осн}$. Основанием является треугольник, у которого известна сторона $c$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол этого треугольника равен $180^\circ - (\alpha + \beta)$. Для нахождения площади по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ нам нужна ещё одна сторона. Найдём сторону $b$, противолежащую углу $\beta$, по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)}$

Отсюда $b = \frac{c \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Теперь можем вычислить площадь основания, используя сторону $c$, найденную сторону $b$ и угол $\alpha$ между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} c b \sin \alpha = \frac{1}{2} c \left(\frac{c \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\right) \sin \alpha = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Далее найдём высоту призмы $h$. По условию, диагональ боковой грани, построенной на стороне, противолежащей углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Обозначим длину этой стороны как $a$. Найдём её по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)}$

$a = \frac{c \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$

Так как призма прямая, её высота $h$ равна длине бокового ребра. Угол наклона диагонали к плоскости основания $\gamma$ — это угол между самой диагональю и её проекцией на это основание (которой является сторона $a$). Таким образом, высота $h$, сторона $a$ и диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором $h$ и $a$ — катеты. Связь между ними выражается через тангенс угла $\gamma$:

$\tan \gamma = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем высоту: $h = a \tan \gamma = \frac{c \sin \alpha \tan \gamma}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Наконец, находим объём призмы, перемножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{c \sin \alpha \tan \gamma}{\sin(\alpha + \beta)}$

После упрощения получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha \sin \beta \tan \gamma}{2 \sin^2(\alpha + \beta)}$

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha \sin \beta \tan \gamma}{2 \sin^2(\alpha + \beta)}$