Номер 247, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6 см, а диагональ основания — 12 см. Плоскость, проходящая через вершины $B, D$ и $C_1$, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6 см, а диагональ основания — 12 см. Плоскость, проходящая через вершины $B$, $D$ и $C_1$, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда $V$ необходимо найти площадь его основания $S_{\text{осн}}$ и высоту $h$. Объём вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.

1. Нахождение сторон и площади основания

Основание $ABCD$ — прямоугольник. Пусть одна из его сторон $AB = 6$ см. Диагональ основания $BD = 12$ см. Треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $BD$. По теореме Пифагора найдём вторую сторону основания $AD$:

$AD^2 = BD^2 - AB^2$

$AD^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$

$AD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания:

$S_{\text{осн}} = AB \cdot AD = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Нахождение высоты параллелепипеда

Плоскость, проходящая через вершины $B, D$ и $C_1$, пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $BD$. Угол между этими плоскостями по условию равен $30^\circ$. Этот угол является двугранным углом, и его мерой служит линейный угол, построенный на ребре $BD$.

Для построения линейного угла проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $BD$ в прямоугольном треугольнике $BCD$. Таким образом, $CH \perp BD$.

Поскольку $C_1C$ — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, оно перпендикулярно плоскости основания ($C_1C \perp ABCD$). $CH$ является проекцией наклонной $C_1H$ на плоскость основания. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция прямой ($CH$) перпендикулярна другой прямой ($BD$), то и сама наклонная ($C_1H$) перпендикулярна этой прямой ($BD$).

Таким образом, $\angle C_1HC$ — это линейный угол двугранного угла, и $\angle C_1HC = 30^\circ$.

Найдём длину $CH$. Площадь треугольника $BCD$ можно вычислить как половину произведения катетов $BC$ и $CD$ (где $BC=AD=6\sqrt{3}$ см, а $CD=AB=6$ см), а также как половину произведения гипотенузы $BD$ на высоту $CH$.

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$ см$^2$.

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot CH = 6 \cdot CH$.

Приравниваем оба выражения:

$6 \cdot CH = 18\sqrt{3} \implies CH = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1CH$ (угол $\angle C$ прямой). Высота параллелепипеда $h = C_1C$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\text{tg}(\angle C_1HC) = \frac{C_1C}{CH} \implies h = C_1C = CH \cdot \text{tg}(30^\circ)$.

$h = 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$ см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда

Теперь, зная площадь основания и высоту, находим объём:

$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 36\sqrt{3} \cdot 3 = 108\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^3$.