Номер 244, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244.В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна $25 \text{ см}$, а площадь боковой поверхности — $504 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

244. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна $25 \text{ см}$, а площадь боковой поверхности — $504 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а её высота — $H$.

Боковая грань такой призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Диагональ боковой грани $d$, по условию равная 25 см, связана со сторонами $a$ и $H$ теоремой Пифагора:
$a^2 + H^2 = d^2$
$a^2 + H^2 = 25^2 = 625$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной треугольной призмы состоит из площадей трёх одинаковых боковых граней. Она вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$.
По условию, $S_{бок} = 504$ см².
$3aH = 504$
Разделив обе части на 3, получим:
$aH = 168$

Для нахождения $a$ и $H$ необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} a^2 + H^2 = 625 \\ aH = 168 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $H = \frac{168}{a}$ и подставим в первое:
$a^2 + \left(\frac{168}{a}\right)^2 = 625$
$a^2 + \frac{28224}{a^2} = 625$
Домножим уравнение на $a^2$ (так как $a > 0$) и перенесем все члены в одну сторону:
$a^4 - 625a^2 + 28224 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $x = a^2$ (где $x>0$):
$x^2 - 625x + 28224 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-625)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28224 = 390625 - 112896 = 277729$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{277729} = 527$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{625 + 527}{2} = \frac{1152}{2} = 576$
$x_2 = \frac{625 - 527}{2} = \frac{98}{2} = 49$

Вернемся к замене $a^2 = x$. Получаем два возможных случая:
1) $a^2 = 576 \implies a = 24$ см. Тогда $H = \frac{168}{24} = 7$ см.
2) $a^2 = 49 \implies a = 7$ см. Тогда $H = \frac{168}{7} = 24$ см.

Оба набора размеров удовлетворяют условиям задачи. Теперь найдем объем призмы для каждого случая. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

В первом случае ($a=24, H=7$):
$V_1 = \frac{24^2\sqrt{3}}{4} \cdot 7 = \frac{576\sqrt{3}}{4} \cdot 7 = 144\sqrt{3} \cdot 7 = 1008\sqrt{3}$ см³.

Во втором случае ($a=7, H=24$):
$V_2 = \frac{7^2\sqrt{3}}{4} \cdot 24 = \frac{49\sqrt{3}}{4} \cdot 24 = 49\sqrt{3} \cdot 6 = 294\sqrt{3}$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $1008\sqrt{3}$ см³ или $294\sqrt{3}$ см³.