Номер 239, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы.

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

По условию, основание призмы — ромб, а сама призма — прямая. Это означает, что боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, и высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.

Пусть меньшая диагональ ромба, лежащего в основании, равна $d_1$. Меньшая диагональ призмы, длина которой равна $d$, соединяет вершины призмы, лежащие на разных основаниях. Эта диагональ призмы, ее проекция на плоскость основания (которой является диагональ ромба $d_1$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали призмы к плоскости основания, равный $\beta$, является углом между гипотенузой $d$ и катетом $d_1$ в этом треугольнике.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике мы можем найти высоту призмы $H$ и меньшую диагональ основания $d_1$:

$H = d \cdot \sin(\beta)$

$d_1 = d \cdot \cos(\beta)$

Теперь найдем площадь основания ($S_{осн}$). Основание — ромб с острым углом $\alpha$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2}d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Мы уже нашли $d_1$. Найдем $d_2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$, а острый угол, противолежащий катету $\frac{d_1}{2}$, равен $\frac{\alpha}{2}$.

Из этого треугольника имеем соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_1/2}{d_2/2} = \frac{d_1}{d_2}$

Отсюда выразим большую диагональ ромба $d_2$:

$d_2 = \frac{d_1}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = d_1 \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})$

Подставим выражение для $d_1$:

$d_2 = (d \cos(\beta)) \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь мы можем найти площадь основания ромба:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} (d \cos(\beta)) \cdot (d \cos(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})) = \frac{1}{2} d^2 \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, вычислим объем призмы, подставив найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2} d^2 \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot (d \sin(\beta))$

$V = \frac{1}{2} d^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $V = \frac{1}{2} d^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})$