Номер 235, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 17 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание этого треугольника, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

235. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 17 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Решим задачу в несколько шагов.

1. Найдём площадь основания призмы
Основанием призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a = 16$ см и боковыми сторонами $b = 17$ см.Для вычисления площади этого треугольника необходимо найти его высоту $h_{осн}$, проведенную к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $16 / 2 = 8$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_{осн}$, половиной основания ($8$ см) и боковой стороной ($17$ см), которая является гипотенузой. По теореме Пифагора:$h_{осн}^2 + 8^2 = 17^2$$h_{осн}^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$h_{осн} = \sqrt{225} = 15$ см.Теперь мы можем вычислить площадь основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см².

2. Найдём высоту призмы
По условию, призма прямая. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, и высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.Рассмотрим боковую грань, которая содержит основание треугольника ($a = 16$ см). Эта грань является прямоугольником со сторонами $16$ см и $H$.Диагональ этой боковой грани, её основание ($16$ см) и боковое ребро призмы ($H$) образуют прямоугольный треугольник.Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали является сторона основания длиной $16$ см.Таким образом, в получившемся прямоугольном треугольнике катетами являются высота призмы $H$ и сторона основания $a=16$ см. Угол между гипотенузой (диагональю) и катетом $a$ равен $30^\circ$.Соотношение катетов в прямоугольном треугольнике определяется через тангенс угла:$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{a}$Отсюда выразим высоту $H$:$H = a \cdot \tan(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдём объём призмы
Используя найденные значения площади основания и высоты, вычислим объём призмы:$V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3}$$V = \frac{120}{3} \cdot 16\sqrt{3} = 40 \cdot 16\sqrt{3} = 640\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $640\sqrt{3}$ см³.