Номер 229, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. В конус, радиус основания которого равен 20 см, а высота — 15 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

229. В конус, радиус основания которого равен 20 см, а высота — 15 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Для нахождения ее длины необходимо определить ее радиус. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник, и вписанную в него окружность, которая является сечением сферы.

Пусть $R$ — радиус основания конуса и $H$ — его высота. По условию, $R = 20$ см и $H = 15$ см.

1. Найдем длину образующей конуса ($L$). Образующая, высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем радиус окружности касания ($r_k$). Рассмотрим осевое сечение: равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$ (вершина конуса), высотой $AO = H$ и основанием $BC = 2R$. Образующая $AC = L = 25$ см. Вписанная окружность (сечение сферы) касается стороны $AC$ в точке $K$.

Радиус искомой окружности касания $r_k$ — это расстояние от точки касания $K$ до оси конуса $AO$. Проведем перпендикуляр $KP$ из точки $K$ на ось $AO$. Тогда $r_k = KP$.

Прямоугольные треугольники $\triangle APK$ (с прямым углом $P$) и $\triangle AOC$ (с прямым углом $O$) подобны по общему острому углу $\angle CAO$.

Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KP}{OC} = \frac{AK}{AC}$

Отсюда $r_k = KP = OC \cdot \frac{AK}{AC} = R \cdot \frac{AK}{L}$.

Длина отрезка $AK$ — это длина касательной, проведенной из вершины $A$ к вписанной окружности. Она равна разности образующей $L$ и радиуса основания $R$ (так как длина касательной из вершины $C$ к вписанной окружности равна отрезку $CO=R$). $AK = AC - KC = L - R = 25 - 20 = 5$ см.

Подставим известные значения в формулу для $r_k$: $r_k = 20 \cdot \frac{5}{25} = 20 \cdot \frac{1}{5} = 4$ см.

3. Найдем длину линии касания ($C$). Длина линии касания — это длина окружности с радиусом $r_k$: $C = 2 \pi r_k = 2 \pi \cdot 4 = 8\pi$ см.

Ответ: $8\pi$ см.